Visa att OLS ger ett biased estimat för koefficienten i AR(1)

Hej,

Jag ska visa att OLS ger ett biased estimat för koefficienten i en AR(1)-modell.

Modell: $y_t=a{y}_{t-1}+u_t, u_t~iid(0,{\sigma }^2), t =\hspace{0.17em}1,...,T$, a är en konstant och iid syftar här på att vi ej har en känd fördelning men vi vet att u_t är oberoende och likafördelade.

Man kan härleda estimatet för OLS till:

$a_{OLS}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{{\displaystyle \sum _{t=1}^T}\left(y_t{y}_{t-1}\right)}{\sum _{t=1}^T\left({y^2}_{t-1}\right)}$

Jag har sen gjort följande

$a_{OLS}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{{\displaystyle \sum _{t=1}^T\left(y_t{y}_{t-1}\right)}}{\sum _{t=1}^T\left({y^2}_{t-1}\right)}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\frac{{\displaystyle \sum _{t=1}^T\left(\right(a{y}_{t-1}+u_t\left)y_{t-1}\right)}}{\sum _{t=1}^T\left({y^2}_{t-1}\right)}=\frac{{\displaystyle \sum _{t=1}^T(a{y^2}_{t-1}+u_t{y}_{t-1})}}{\sum _{t=1}^T\left({y^2}_{t-1}\right)}$

Så att jag får:

$E\left[a_{OLS}\right]\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}E\left[\frac{{\displaystyle \sum _{t=1}^T(a{y^2}_{t-1}+u_t{y}_{t-1})}}{\sum _{t=1}^T\left({y^2}_{t-1}\right)}\right]=aE\left[\frac{{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{T}{\sum (}}{y^2}_{t-1})}}{\sum _{t=1}^T\left({y^2}_{t-1}\right)}\right]+E\left[\frac{{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{T}{\sum (}}{u}_t{y}_{t-1})}}{\sum _{t=1}^T\left({y^2}_{t-1}\right)}\right]$

Vilket jag tror ger:

(*):  $E\left[a_{OLS}\right]\hspace{0.17em}=a+E\left[\frac{{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{T}{\sum (}}{u}_t{y}_{t-1})}}{\sum _{t=1}^T\left({y^2}_{t-1}\right)}\right]$

Från detta steget blir jag osäker på hur jag ska gå vidare. Jag tror att om jag ska kunna få in E(.) i täljaren och nämnare så måste jag kunna visa att uttrycken i täljaren och nämnaren är oberoende så jag kan använda att E(XY)=E(X)E(Y), vilket jag inte vet om dom är. Jag skulle vilja få ett mer konkret uttryck för:

$E\left[\frac{{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{T}{\sum (}}{u}_t{y}_{t-1})}}{\sum _{t=1}^T\left({y^2}_{t-1}\right)}\right]$

Så att jag kan se att detta inte blir noll samt få ett konkret uttryck för hur biased estimatet blir.

Så, givet att jag har gjort rätt fram till (*), har någon ett förslag på hur jag kan fortsätta härledningen alternativt ge tips på ett annat sätt att göra det på? :)

Mvh