Visa att olikheten gäller för alla reella tal (Matematik/Matte 3/Algebraiska uttryck)

Det är meningen att du ska betrakta tre fall:

a < b

a = b

a > b

Ska jag testa med att sätta in tal eller kan jag använda mig av en generell lösningsmetod?

Ska jag testa med att sätta in tal eller kan jag använda mig av en generell lösningsmetod?

Du ska använda dig av en generell lösningsmetod

Fattar inte hur jag ska göra det än. Är min uträkning inte tillräcklig?

|a-b| förekommer ingenstans i din uträkning.

solskenet skrev:
Fattar inte hur jag ska göra det än. Är min uträkning inte tillräcklig?

Hej,

Nej, din uträkning är inte tillräcklig eftersom du inte har visat någonting alls; det enda du har gjort är att visa att

$|a|-|b| = |a| - |b|.$

Om du känner till Triangelolikheten så kan du använda den för att lösa uppgiften; Triangelolikheten säger att om $x$ och $y$ är reella tal så uppfyller de olikheten

$|x+y| \leq |x|+|y|.$

För din del gäller det att översätta detta till ditt problem. Vad är $x$ och vad är $y$ i ditt problem?

Om du vill använda Albikis tips så är en möjlig ingång att inse att $|a| = |a - b + b|, |b| = |b - a + a|$ .

Annars kan du även följa Affes tips med olika alternativ. Ett sätt att börja tänka kan då vara som nedan.

Om a = b, så uppfylls olikheten trivialt (0 = 0).

Fall A: a > b. Vi kan dela upp i flera alternativ.

A1: a $\geq$ 0, b $\geq$ 0, vilket ger att $|a| = a, |b| = b$ , och vidare

$|a - b| = a - b = |a| - |b| = ||a| - |b||$ .

A2: a $\geq$ 0, b < 0, vilket ger $|a| = a, |b| = - b$ , och vidare

$|a - b| = a - b = |a| + |b| \geq ||a| - |b||$ , där den sista olikheten följer av att

$|a| + |b| \geq |a| - |b|, |a| + |b| \geq |b| - |a|$ .

A3: a < 0, b < 0, vilket ger att $|a| = - a, |b| = - b$ , dessutom, då a > b, så har vi även att $|b| > |a|$ , och vidare

$|a - b| = a - b = |b| - |a| = ||b| - |a|| = ||a| - |b||$ .

Fall B: b > a. Gör själv!

Ett annat sätt är som följer.

${|a - b|}^{2} = {(a - b)}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \geq a^{2} + b^{2} - 2 |a| |b| = {|a|}^{2} + {|b|}^{2} - 2 |a| |b| = {(|a| - |b|)}^{2} = {||a| - |b||}^{2} .$

Så vi har att ${|a - b|}^{2} \geq {||a| - |b||}^{2}$ , vilket naturligtvis implicerar att $|a - b| \geq ||a| - |b||$ .