visa att olikhet stämmer ? (integraler)

visa att $\int_{\cos \frac{1}{n}}^{1} \frac{1}{t} d t \leq \frac{\sin^{2} (\frac{1}{n})}{\cos^{2} (1)} f ö r a l l a h e l t a l n \geq 1$

Jag gjorde såhär men kom inte längre:

$\int_{\cos 1 / n}^{1} \frac{1}{t} d t = {[\ln t]}^{1}_{\cos 1 / n} = \ln 1 - \ln (\cos \frac{1}{n}) = - \ln (\cos \frac{1}{n}) l å t e r - \ln (\cos \frac{1}{n}) g å m o t \infty \lim_{n \to \infty} - \ln (\cos \frac{1}{n}) = - \ln (\cos 0) = - \ln 1 = 0 l å t e r \frac{\sin^{2} (\frac{1}{n})}{\cos^{2} (1)} g å m o t \infty \lim_{n \to \infty} \frac{\sin^{2} (\frac{1}{n})}{\cos^{2} (1)} = \frac{\sin^{2} (0)}{\cos^{2} (1)} = 0 o l i k h e t e n s t ä m m e r f ö r n \to \infty$

för n=1 får jag uttrycket:

$- \ln (\cos 1) \leq \tan^{2} (1)$

hur ska jag ens visa det här utan miniräknare? Eller har jag visat helt fel och måste göra på ett annat sätt?

Mja, denna metod fungerar inte riktigt. Men du kan prova en Riemannsumma istället! Om du kan bevisa att översumman av integralen är mindre än eller lika med HL, har du bevisat att integralen är mindre än eller lika med HL. :) Hur blir översumman i detta fall?

pepparkvarn skrev:
Mja, denna metod fungerar inte riktigt. Men du kan prova en Riemannsumma istället! Om du kan bevisa att översumman av integralen är mindre än eller lika med HL, har du bevisat att integralen är mindre än eller lika med HL. :) Hur blir översumman i detta fall?

Ingen aning om vad jag ska välja för översumma förutom kanske 1/x men den serien är ju harmonisk och divergerar vilket inte säger en något...

Svara