Visa att nul A^2 = nul A^3 för en injektiv avbildning

Hej! Jag skulle behöva hjälp med att bevisa ett påstående.

Låt A vara en kvadratisk matris och avbildningen $x \to A x$ vara injektiv, visa att $N u l A^{2} = N u l A^{3}$

Då avbildningen är injektiv vet jag att Nul A = {0} vilket jag också antar är Nul A^2 och Nul ^3. Jag har dock lite problem med att visa detta. Det jag har tänkt är att man kan utföra avbildningen A flera gånger.

Eftersom den är injektiv vet vi att Ax=0 endast gäller för x=0 d.v.s Nul A = 0. Sedan tänker jag att man kan utföra avbildningen igen s.a $A^{2} x = A (A x) = 0$ . Med samma resonemang (A injektiv) är denna ekvationen uppfylld endast för Ax=0 som enligt innan innebar att x=0. Då är Nul A = Nul A^2 = 0 o.s.v. Jag är dock osäker på om detta resonemang fungerar och skulle behöva lite hjälp på hur man bevisar detta bäst.

Tacksam för hjälp

Hej,

Du behöver visa två saker:

Om $x\in Nul(A^2)$ är ett godtyckligt element så följer det att $x\in Nul(A^3)$ .
Om $y\in Nul(A^3)$ är ett godtyckligt element så följer det att $y\in Nul(A^2)$ .

Då har du visat dels att $Nul(A^2) \subseteq Nul(A^3)$ dels att $Nul(A^3) \subseteq Nul(A^2)$ vilket är samma sak som att $Nul(A^2) = Nul(A^3)$ .

Albiki skrev:
Hej,

Du behöver visa två saker:

Om $x\in Nul(A^2)$ är ett godtyckligt element så följer det att $x\in Nul(A^3)$ .

Om $y\in Nul(A^3)$ är ett godtyckligt element så följer det att $y\in Nul(A^2)$ .

Då har du visat dels att $Nul(A^2) \subseteq Nul(A^3)$ dels att $Nul(A^3) \subseteq Nul(A^2)$ vilket är samma sak som att $Nul(A^2) = Nul(A^3)$ .

Ok tack, tror jag fattar:

$L å t x \in N u l A^{2} {x : A^{2} x = 0} : A^{3} x = A (A^{2} x) = A * 0 = 0 f ö r a l l a x \in N u l A^{2} D ä r f ö r ä r N u l A^{2} \subseteq N u l A^{3}$

Eftersom A är injektiv är den inverterbar med inversen $A^{- 1}$ som också är injektiv m.m

$L å t y \in N u l A^{3} {y : A^{3} y = 0} : A^{2} y = A^{- 1} (A^{3} y) = A^{- 1} * 0 = 0 f ö r a l l a y \in N u l A^{3} D ä r f ö r ä r N u l A^{3} \subseteq N u l A^{2}$

Då är de samma mängd d.v.s $N u l A^{2} = N u l A^{3}$ , är detta ok?

Ja, det ser bra ut.

Du ser också var injektivitet behövdes, vilket visar att om $A$ inte är injektiv så kan man dra slutsatsen $Nul(A^2) \subseteq Nul(A^3)$ men ej nödvändigtvis $Nul(A^3)\subseteq Nul(A^2).$

Differensmängden $Nul(A^3) \setminus Nul(A^2)$ är intimt förknippad med injektivitet hos $A$ ; avbildningen $A$ är injektiv precis då differensmängden är tom.

Du ser också var injektivitet behövdes, vilket visar att om $A$ inte är injektiv så kan man dra slutsatsen $Nul(A^2) \subseteq Nul(A^3)$ men ej nödvändigtvis $Nul(A^3)\subseteq Nul(A^2).$

Nice, tack så mycket för hjälpen! Skulle du möjligtvis kunna förklara denna del lite mer? Jag förstår att man fortfarande kan dra den första slutsatsen ganska enkelt men vad exakt i avsaknaden av injektivitet (och inverterbarhet) är det som gör att man inte nödvändigtvis kan dra den andra?

Kan man bevisa att A måste vara injektiv för att det ska garanterat stämma?

mattemannen skrev:

Du ser också var injektivitet behövdes, vilket visar att om $A$ inte är injektiv så kan man dra slutsatsen $Nul(A^2) \subseteq Nul(A^3)$ men ej nödvändigtvis $Nul(A^3)\subseteq Nul(A^2).$

Nice, tack så mycket för hjälpen! Skulle du möjligtvis kunna förklara denna del lite mer? Jag förstår att man fortfarande kan dra den första slutsatsen ganska enkelt men vad exakt i avsaknaden av injektivitet (och inverterbarhet) är det som gör att man inte nödvändigtvis kan dra den andra?

Kan man bevisa att A måste vara injektiv för att det ska garanterat stämma?

Du visade det själv; om avbildningen inte är injektiv så kan du inte utföra matrismultiplikationen $A^{-1}0$ .

Du visade det själv; om avbildningen inte är injektiv så kan du inte utföra matrismultiplikationen A−10A-10.

Juste, för det skulle i sådana fall vara det ända sättet att visa att varje element i nul A^3 skulle göra ekvationen A^2y=0 sann. Behövde tänka igenom det en gång till haha.

Superschysst att du kunde ställa upp med bra svar, tack!

Svara

Visa senaste svar