Visa att n! + (n-1)! = (n^2-1)(n-2)!

Börja med högerledet istället. Använd konjugatregeln på den första faktorn. Fråga igen om du behöver mer hjälp.

Tack för det snabba svaret!

Då blir högerledet så här:

Hl = (n+1)(n-1)(n-2)!

men jag kommer inte vidare, jag förstår inte hur jag ska fortsätta.

Hur kan du skriva (n-1)(n-2)! på ett enklare sätt?

Jag vet inte riktigt, kanske att jag fortsätter att utveckla (n-2)! men då blir uttrycket inte förenklat..

(n+1)(n-1)(n-2)(n-3)!  men detta verkar bara onödigt, förstår inte riktigt hur jag ska förenkla (n-1)(n-2)!  :/

Jag provar från andra hållet: hur blir det om man skriver ut några faktorer i n!  ?

Hur kan man skriva $3\cdot2!$ på ett enklare sätt? Hur kan man skriva $4\cdot3!$ på ett enklare sätt? Hur kan man skriva $5\cdot4!$ på ett enklare sätt? Detta är menat som en ledtråd för att du skall kunna skriva (n-1)(n-2)! på ett enklare sätt.

3 ⋅ 2!  borde kunna skrivas om som 3!

så då borde jag kunna skriva om (n-1)(n-2)! som (n-1)! 

Då blir högerledet  :  (n+1)(n-1)!  om jag har tänkt rätt..

Då har jag fått till (n-1)!- termen, men då är frågan hur jag ska få fram n!  ?

Alternativ lösning: Jag skulle istället utgå från VL och faktorisera det.

Eftersom n! = n*(n-1)! så är n! + (n-1)! = n*(n-1)! + (n-1)! = (n+1)*(n-1)!

Eftersom (n-1)! = (n-1)*(n-2)! så är (n+1)*(n-1)! = (n+1)*(n-1)*(n-2)!

Kan du fortsätta själv därifrån?

Vad händer om du multiplicerar dels $n$ och dels  $1$ (som du har i den första parentesen) med (n-1)!?

Tack så mycket, nu tror jag att jag äntligen förstår!

då borde jag kunna skiva om (n+1)* (n-1) * (n-2)! genom konjugatregeln och det blir det:

(n^2-1) * (n-1)!   Vl = HL

Anna1 skrev:

Tack så mycket, nu tror jag att jag äntligen förstår!

 

då borde jag kunna skiva om (n+1)* (n-1) * (n-2)! genom konjugatregeln och det blir det:

(n^2-1) * (n-1)!   Vl = HL

Ja (men du råkade skriva (n^2-1) * (n-1)! istället för (n^2-1) * (n-2)!).

Pröva gärna att lösa uppgiften enligt de andra tipsen du fått, nämligen att utgå från HL.

Dock så hänger jag inte riktigt med på det här steget:

n! + (n-1)! = n*(n-1)! + (n-1)! = (n+1)*(n-1)!

jag förstår inte hur n*(n-1)! + (n-1)! kan skrivas om till  (n+1)*(n-1)!

Anna1 skrev:

Tack så mycket, nu tror jag att jag äntligen förstår!

 

då borde jag kunna skiva om (n+1)* (n-1) * (n-2)! genom konjugatregeln och det blir det:

(n^2-1) * (n-1)!   Vl = HL

 Men nu har du väl börjat med högerledet, manipulerat det, manipulerat det lite till och visat att HL = HL. Det har du inte mycket glädje av.

$HL=(n^2-1)(n-2)$ använd konjugatregeln baklänges på första parentesen

$=(n+1)(n-1)(n-2)!$ multiplicera fakulteten med (n-1)

$=(n+1)(n-1)!=n\cdot(n-1)!+1\cdot(n-1)!$ multiplicera fakulteterna med de båda termerna i parentesen

$=n!+(n-1)!=VL$

Anna1 skrev:

Dock så hänger jag inte riktigt med på det här steget:

 

n! + (n-1)! = n*(n-1)! + (n-1)! = (n+1)*(n-1)!

 

jag förstår inte hur n*(n-1)! + (n-1)! kan skrivas om till  (n+1)*(n-1)!

Det är för att (n-1)! är en gemensam faktor i de båda termerna som alltså kan brytas ut.

Om du har svårt att se det kan du förenkla genom att kalla (n-1)! för A

Då kan uttrycket n*(n-1)! + (n-1)! skrivas n*A + A och du ser då lätt att A är en gemensam faktor som du kan bryta ut: n*A + A = (n+1)*A

Hej!

Från vänster till höger. Det gäller att $n! = (n-1)! \cdot n$ vilket ger summan

    $n! + (n-1)! = (n-1)! \cdot n + (n-1)! = (n-1)! \cdot (n+1).$

Det gäller att $(n-1)! = (n-2)! \cdot (n-1)$ vilket ger produkten

    $(n-1)! \cdot (n+1) = (n-2)! \cdot (n-1)(n+1).$

Konjugatregeln ger nu uttrycket som står i högerledet.

Från höger till vänster. Det gäller att $n^2-1 = (n+1)(n-1)$ vilket ger produkten

    $(n^2-1)\cdot (n-2)! = (n+1)\cdot (n-1) \cdot (n-2)!$.

Det gäller att $(n-1)\cdot (n-2)! = (n-1)!$ vilket ger produkten

    $(n+1)\cdot (n-1)! = n \cdot (n-1)! + (n-1)!$.

Vänsterledet följer från att det gäller att $n \cdot (n-1)! = n!$.

Yngve skrev:

Anna1 skrev:

Dock så hänger jag inte riktigt med på det här steget:

 

n! + (n-1)! = n*(n-1)! + (n-1)! = (n+1)*(n-1)!

 

jag förstår inte hur n*(n-1)! + (n-1)! kan skrivas om till  (n+1)*(n-1)!

Det är för att (n-1)! är en gemensam faktor i de båda termerna som alltså kan brytas ut.

Om du har svårt att se det kan du förenkla genom att kalla (n-1)! för A

Då kan uttrycket n*(n-1)! + (n-1)! skrivas n*A + A och du ser då lätt att A är en gemensam faktor som du kan bryta ut: n*A + A = (n+1)*A

Ja, såklart!  Tack! 

Smaragdalena skrev:

Anna1 skrev:

Tack så mycket, nu tror jag att jag äntligen förstår!

 

då borde jag kunna skiva om (n+1)* (n-1) * (n-2)! genom konjugatregeln och det blir det:

(n^2-1) * (n-1)!   Vl = HL

 Men nu har du väl börjat med högerledet, manipulerat det, manipulerat det lite till och visat att HL = HL. Det har du inte mycket glädje av.

$HL=(n^2-1)(n-2)$ använd konjugatregeln baklänges på första parentesen

$=(n+1)(n-1)(n-2)!$ multiplicera fakulteten med (n-1)

$=(n+1)(n-1)!=n\cdot(n-1)!+1\cdot(n-1)!$ multiplicera fakulteterna med de båda termerna i parentesen

$=n!+(n-1)!=VL$

  Tack så mycket !

Albiki skrev:

Hej!

Från vänster till höger. Det gäller att $n! = (n-1)! \cdot n$ vilket ger summan

    $n! + (n-1)! = (n-1)! \cdot n + (n-1)! = (n-1)! \cdot (n+1).$

Det gäller att $(n-1)! = (n-2)! \cdot (n-1)$ vilket ger produkten

    $(n-1)! \cdot (n+1) = (n-2)! \cdot (n-1)(n+1).$

Konjugatregeln ger nu uttrycket som står i högerledet.

Från höger till vänster. Det gäller att $n^2-1 = (n+1)(n-1)$ vilket ger produkten

    $(n^2-1)\cdot (n-2)! = (n+1)\cdot (n-1) \cdot (n-2)!$.

Det gäller att $(n-1)\cdot (n-2)! = (n-1)!$ vilket ger produkten

    $(n+1)\cdot (n-1)! = n \cdot (n-1)! + (n-1)!$.

Vänsterledet följer från att det gäller att $n \cdot (n-1)! = n!$.

  Tack så jättemycket !!!