Visa att mängden är begränsad - Envariabelanalys

Behöver hjälp med bevisdelen för följande uppgift:

Jag gissade fram $i n f M$ och $s u p M$ genom att sätta in $n = 0$ och $n = \infty$ som gav $i n f M = - \frac{3}{4}$ och $s u p M = 0$ .

Det jag nu ska göra är att bevisa att att mängden är begränsad, dvs bevisa att mängden är uppåt och nedåt begränsad och att den minsta övre begränsningen är 0 och den största undre begränsningen är $- \frac{3}{4}$ .

Detta innebär så vitt jag förstått att ( $\forall$ $a_{n} \in M$ , $- \frac{3}{4} \leq a_{n} \leq 0$ ) , $a_{n} = - \frac{6}{{(n + 2)}^{3}}$ .

Tänkter jag rätt? Och hur går jag vidare?

Kan du visa att för alla $n \in ℕ$ så gäller det att a_n $\leq$ 0?

Dvs är -6/(n+2)³ $\leq$ 0 för alla naturliga tal n?

PATENTERAMERA skrev:
Kan du visa att för alla $n \in ℕ$ så gäller det att a_n $\leq$ 0?

Dvs är -6/(n+2)³ $\leq$ 0 för alla naturliga tal n?

De naturliga talen är $ℕ = {0, 1, 2, . . .}$ och dessa kommer alltid ge ett negativt tal eftersom det krävs ett tal mindre än 0 för att ta ut minustecknet. Men hur man skriver detta matematiskt vet jag inte

Du tänker rätt. Kanske kan man uttrycka det mer precist genom att notera att nämnaren är positiv för alla naturliga n, och då täljaren är negativ så kommer hela kvoten att bli negativ för alla naturliga n. Således är 0 en övre begränsning till M. Återstår att visa att 0 = sup(M).

Sedan ser vi att a_n är en strikt växande följd, dvs a₀ < a₁ < a₂ < …. . Det betyder att a₀ = min(M). Återstår att visa att a₀ = inf(M).

PATENTERAMERA skrev:
Du tänker rätt. Kanske kan man uttrycka det mer precist genom att notera att nämnaren är positiv för alla naturliga n, och då täljaren är negativ så kommer hela kvoten att bli negativ för alla naturliga n. Således är 0 en övre begränsning till M. Återstår att visa att 0 = sup(M).

Okej då förstår jag den biten. Men när man ska visa att sup(M)=0 antar jag att man ska anta att det finns en övre begränsning mindre än 0, alltså använda sig av motsägelsebevis, kommer däremot inte på hur man kan göra det

Ja, det låter som en plan.

PATENTERAMERA skrev:
Sedan ser vi att a_n är en strikt växande följd, dvs a₀ < a₁ < a₂ < …. . Det betyder att a₀ = min(M). Återstår att visa att a₀ = inf(M).

Måste man bevisa a0 = inf(M). Jag tänker att om 0 är det minsta n man kan sätta in då endast $ℕ$ tillåts då måste väl -3/4 vara inf M

Låt tex A = {b_n = 1/(n+1): n tillhör N}.

Är då inf(A) = b₀?

Ta vilken mängd S av reella tal som helst sådan att min(S) existerar. Då gäller det att inf(S) = min(S). Visa det om du inte tycker det är självklart.

I vårt fall så var a₀ = min(M), så inf(M) = a₀.

Låt A vara en mängd av reella tal. Om A har en övre begränsning så finns en minsta övre begränsning. Den kallas supremum av A. Det behöver inte vara detsamma som max A Exempel: Låt A vara intervallet x<5. Då är sup A = 5 men A saknar ett Max-värde eftersom 5 icke tillhör A. Ett maximum är alltså ett supremum som tillhör A.

Svara

Visa senaste svar