Visa att L är en linje och bestäm en parameterform för L

Du kan bilda ekvationen för linjen genom två av punkterna. Sedan kollar du om den tredje punktens koordinater satisfierar den linjens ekvation.

Du bildar ekvationen för en linje genom A och B genom att bestämma vektorn AB. Linjens ekv fås då ur

(x,y,z) = A + t AB

EDIT: Ursäkta, strunta i mitt svar. Jag läste frågan fel.

Marilyn skrev:

Du kan bilda ekvationen för linjen genom två av punkterna. Sedan kollar du om den tredje punktens koordinater satisfierar den linjens ekvation.

Du bildar ekvationen för en linje genom A och B genom att bestämma vektorn AB. Linjens ekv fås då ur

(x,y,z) = A + t AB

 

EDIT: Ursäkta, strunta i mitt svar. Jag läste frågan fel.

vad bra för frågan handlar inte bara om bestämma ekvation för linjen i parameterform utan visa att L är en linje. Det jag  fastnade på var hur man visar att L är en linje.

Jag läste att man skulle visa att de tre punkterna låg på samma linje. Det hade varit ett mycket enklare problem.

Marilyn skrev:

Jag läste att man skulle visa att de tre punkterna låg på samma linje. Det hade varit ett mycket enklare problem.

Okej men hur börjar man med att visa att L är en linje?

Du vill visa att mängden av alla punkter $(x,y,z)$ som har samma avstånd till punkterna P, Q och R bildar en linje. Ett sätt att lösa detta på är att försöka hitta en relation mellan x, y och z så att det liknar parameterformen för en linje.

Tag en godtycklig punkt $(x,y,z)$ i rummet. Hur stort blir avståndet från (x,y,z) till P? Till Q? Till R? Du kan här använda avståndsformeln. Nu har du tre uttryck för avstånden. Genom att sätta dessa uttryck lika och förenkla så får du fram den relation mellan mellan x, y och z som måste gälla. Det kommer visa sig att relationen blir sådan att x beror av en parameter t, och på samma sätt blir det med y och z.
Vilket precis är parameterformen för en linje.  

theg0d321 skrev:

Du vill visa att mängden av alla punkter $(x,y,z)$ som har samma avstånd till punkterna P, Q och R bildar en linje. Ett sätt att lösa detta på är att försöka hitta en relation mellan x, y och z så att det liknar parameterformen för en linje.

Tag en godtycklig punkt $(x,y,z)$ i rummet. Hur stort blir avståndet från (x,y,z) till P? Till Q? Till R? Du kan här använda avståndsformeln. Nu har du tre uttryck för avstånden. Genom att sätta dessa uttryck lika och förenkla så får du fram den relation mellan mellan x, y och z som måste gälla. Det kommer visa sig att relationen blir sådan att x beror av en parameter t, och på samma sätt blir det med y och z.
Vilket precis är parameterformen för en linje.  

Hur lyder avståndsformeln för att räkna ut avståndet till P,Q eller R? I uppgiften har de givit oss att en punkt i mängden L har avståndet sqrt(5) till var och en av punkterna.

Avståndet (i kvadrat) är bara längden av vektorn mellan punkterna.

Låt $(x,y,z)$ vara en punkt på linjen.  Avståndet (i kvadrat) till punkten $P=(0,3,1)$ är då

$\|(x,y,z)-(0,3,1)\|^2=x^2+(y-3)^2+(z-1)^2$

Avstånden till de olika punkterna ska vara lika, det ger dig ekvationer  som bildar ett linjärt ekvationssystem.

D4NIEL skrev:

Avståndet (i kvadrat) är bara längden av vektorn mellan punkterna.

Låt $(x,y,z)$ vara en punkt på linjen.  Avståndet (i kvadrat) till punkten $P=(0,3,1)$ är då

$\|(x,y,z)-(0,3,1)\|^2=x^2+(y-3)^2+(z-1)^2$

Avstånden till de olika punkterna ska vara lika, det ger dig ekvationer  som bildar ett linjärt ekvationssystem.

Ska det inte vara roten ur allt när vi har (x,y,z)-(0,3,1)?

Alternativt kan man utnyttja följande resultat inom stereometri:

Givet två skilda punkter $X$ och $Y$ i rummet är mängden av punkter $S$ sådana att $SX=SY$ det plan som bisekterar och är vinkelrät mot sträcka $XY$.

Sålunda blir $L$ skärningen mellan de tre plan $\varepsilon_{1}$, $\varepsilon_{2}$, $\varepsilon_{3}$ som bisekterar och är vinkelräta mot $PQ$, $QR$ respektive $RP$. Emellertid, då $PQ$, $QR$ och $RP$ ligger i ett och samma plan kommer skärningen mellan $\varepsilon_{1}$, $\varepsilon_{2}$, $\varepsilon_{3}$ vara en linje (nämligen linjen genom och vinkelrät mot omcentrum av triangel $PQR$)

De tre punkterna P, Q och R spänner upp ett plan med normal n=PQ x PR = (1,1,1)

Då Y är givet ges linjen av Y+nt.

Trinity2 skrev:

De tre punkterna P, Q och R spänner upp ett plan med normal n=PQ x PR = (1,1,1)

Då Y är givet ges linjen av Y+nt.

Ok! Kan man motivera så i a) uppgiften? Detta är vad jag fick nedan.

PQ och PR är rätt men vad händer sedan?

L ligger ej i planet. L går vinkelrätt mot planet genom Y.

Beräkna normalen som är vinkelrät mot planet.

Tänk dig en regelbunden tetraeder (nu är det inte en tetraeder i detta fall, men tänk dig en sådan), basplanet är vårt plan och tetraederns topp är Y. Höjden i tetraedern är vår "normal".

(P,Q,R spänner upp en halv liksidig triangel, men det behövs inte för att lösa uppgiften)

Trinity2 skrev:

PQ och PR är rätt men vad händer sedan?

L ligger ej i planet. L går vinkelrätt mot planet genom Y.

Beräkna normalen som är vinkelrät mot planet.

Tänk dig en regelbunden tetraeder (nu är det inte en tetraeder i detta fall, men tänk dig en sådan), basplanet är vårt plan och tetraederns topp är Y. Höjden i tetraedern är vår "normal".

(P,Q,R spänner upp en halv liksidig triangel, men det behövs inte för att lösa uppgiften)

Okej så jag räknar ut normalvektorn som sådan och får följande:

Normal är rätt, men du kan skriva den som (1,1,1), (-2,-2,-2) är bara en (negativ) multipel av (1,1,1)

Sedan skall den gå genom Y, ej P.

Trinity2 skrev:

Normal är rätt, men du kan skriva den som (1,1,1), (-2,-2,-2) är bara en (negativ) multipel av (1,1,1)

Sedan skall den gå genom Y, ej P.

Juste ok

Hur ska jag ställa upp ekvationen som visar att L är en linje?

En lösningsmängd på formen $\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3:\,\{\mathbf{p}_0+t\vec{v},\, t\in \mathbb{R}\}$ är definitionsmässigt en linje i $\mathbb{R}^3$.

D4NIEL skrev:

En lösningsmängd på formen $\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3:\,\{\mathbf{p}_0+t\vec{v},\, t\in \mathbb{R}\}$ är definitionsmässigt en linje i $\mathbb{R}^3$.

Ja det var det jag räknade ut i #14 efter korrigering med normalvektor. Men då kan man säga som du skrev ovan.

Ja, men notera inlägg #15 från Trinity2, använd $Y=(0,1,0)$ istället för $P=(0,3,1)$ som punkt på linjen. P är ju en av punkterna som ligger på avstånd från linjen.

D4NIEL skrev:

Ja, men notera inlägg #15 från Trinity2, använd $Y=(0,1,0)$ istället för $P=(0,3,1)$ som punkt på linjen. P är ju en av punkterna som ligger på avstånd från linjen.

Ja okej jag förstår. Det är ju sant. Tack!

Kanske är frågan avgjord och ingen läser detta. Och jag har inte läst alla svaren, men jag kom på en strategi.

Låt M_PQ vara alla punkter som ligger lika långt från P som från Q. Det ser jag för mig som ett plan.

Låt M_PR vara alla punkter som ligger lika långt från P som från R. Också ett plan.

Låt M_QR vara alla punkter som ligger lika långt från Q som från R. Ett tredje plan.

Den sökta mängden är snittmängden mellan det tre planen.

Nu är det ju så att tre slumpmässigt valda plan brukar ha endast en punkt gemensam. Men det finns olika undantag, planen kan vara parallella, de kan bilda ett ”rör” osv. De kan också vara som sidorna i en bok som möts i bokryggen. Tydligen är det detta fall vi ska visa att vi har att göra med i denna uppgift.

Så min strategi skulle vara att bestämma planet som ligger mitt emellan P och Q med PQ som normalvektor. Sedan skulle jag göra samma med planet mellan P och R. Därefter bestämma skärningslinjen mellan dessa plan. Till sist visa att punkterna på denna linje ligger lika långt från Q som från R. Då borde jag vara hemma.

Ett blodigt räknande, kanske finns det en enklare lösning ovan.

Marilyn skrev:

Kanske är frågan avgjord och ingen läser detta. Och jag har inte läst alla svaren, men jag kom på en strategi.

Låt M_PQ vara alla punkter som ligger lika långt från P som från Q. Det ser jag för mig som ett plan.

Låt M_PR vara alla punkter som ligger lika långt från P som från R. Också ett plan.

Låt M_QR vara alla punkter som ligger lika långt från Q som från R. Ett tredje plan.

Den sökta mängden är snittmängden mellan det tre planen.

Nu är det ju så att tre slumpmässigt valda plan brukar ha endast en punkt gemensam. Men det finns olika undantag, planen kan vara parallella, de kan bilda ett ”rör” osv. De kan också vara som sidorna i en bok som möts i bokryggen. Tydligen är det detta fall vi ska visa att vi har att göra med i denna uppgift.

Så min strategi skulle vara att bestämma planet som ligger mitt emellan P och Q med PQ som normalvektor. Sedan skulle jag göra samma med planet mellan P och R. Därefter bestämma skärningslinjen mellan dessa plan. Till sist visa att punkterna på denna linje ligger lika långt från Q som från R. Då borde jag vara hemma.

Ett blodigt räknande, kanske finns det en enklare lösning ovan.

Japp, var inne på samma spår. Emellertid är ett blodigt räknande inte nödvändigt eftersom planen $M_{PQ}$, $M_{QR}$ och $M_{RP}$ vinkelräta mot (och innehåller) mittpunktsnormalerna till $PQ$, $QR$ respektive $RP$. Så skärningen mellan planen är en linje om och endast om mittpunktsnormalerna i $\triangle PQR$ är konkurrenta...