Visa att kvadraten har minsta omkrets (envariabelanalys)

Kalla sidorna a och b. Dess omkrets är då $O(a,b)=2a+2b$, och dess area kan skrivas som $A=ab=1$. Det vore trevligt att kunna derivera omkretsfunktionen, men vi har två variabler... Kan vi göra något åt det problemet? ;)

Smutstvätt skrev:

Kalla sidorna a och b. Dess omkrets är då $O(a,b)=2a+2b$, och dess area kan skrivas som $A=ab=1$. Det vore trevligt att kunna derivera omkretsfunktionen, men vi har två variabler... Kan vi göra något åt det problemet? ;)

hmm okej, vi kan skriva om någon av a eller b tex A = ab -> b = A/a -> b = 1/a om A = 1

så O(a) = 2a+2/a ger O'(a) = 2 - 2/a^2

men vad ska jag göra med detta?

Vad innebär det att O'(a) = 0? :)

Smutstvätt skrev:

Vad innebär det att O'(a) = 0? :)

det innebär en max eller min punkt så jag kan sätta derivatan till = 0 och se för vilka värden på a jag får den minsta omkretsen?

Maremare skrev:

...

en rektangel med arena 1 är ju en kvadrat redan ...

Nej det finns massor med rektanglar som har arean 1 utan att vara kvadrater.

Till exempel

• en rektangel med sidlängderna 1/2 och 2.
• en rektangel med sidlängderna 1/3 och 3.
• en rektangel med sidlängderna 1/11 och 11.
• en rektangel med sidlängderna 1/4711 och 4711.

EDIT - ser nu att du redan hittat det.

Ser du mönstret?

Om du lyckas uttrycka detta mönster i matematisk form så har du en viktig pusselbit för att kunna lösa uppgiften.

Maremare skrev:

Smutstvätt skrev:

Vad innebär det att O'(a) = 0? :)

det innebär en max eller min punkt så jag kan sätta derivatan till = 0 och se för vilka värden på a jag får den minsta omkretsen?

Japp! Hitta det a som ger minst omkrets, och undersök vad ditt värde på b blir. :)

En kvadrat är däremot en sorts rektangel, det kanske var det som förvirrade.

Yngve skrev:

Maremare skrev:

...

en rektangel med arena 1 är ju en kvadrat redan ...

Nej det finns massor med rektanglar som har arean 1 utan att vara kvadrater.

Till exempel

• en rektangel med sidlängderna 1/2 och 2.
• en rektangel med sidlängderna 1/3 och 3.
• en rektangel med sidlängderna 1/11 och 11.
• en rektangel med sidlängderna 1/4711 och 4711.

EDIT - ser nu att du redan hittat det.

Ser du mönstret?

Om du lyckas uttrycka detta mönster i matematisk form så har du en viktig pusselbit för att kunna lösa uppgiften.

nja aså jag har mest följt tipsen bara men inte riktigt greppat allt, ska försöka sammanfatta för att se om jag har förstått

som du skrivt finns andra rektanglar med arena 1 som inte är kvadrater (tänkte inte om rektanglar med sidor som du skrivit så tack för tipset) och det dom vill att jag ska visa är alltså att av alla dessa rektanglar som har arena 1 så av alla dessa vill dom att jag ska visa att just rektangel med sidorna 1 har minst omkrets

så det jag gör är som smutstvätt tipsade är ställer upp funktion för omkrets O(a,b) = 2a + 2b

sen fixar jag så att jag får en variabel genom att skriva om en av dessa med hjälp av A=ab= 1

sen deriverar jag O när jag har en variabel och sätter derivatan = 0 för då vet jag att jag har ett största eller minsta värde

men där får jag bara ett värde = 1 eftersom att a bara kan anta positiva värden då det är en längd?

och om a = b så kommer omkretsen bli 4

stämmer detta?

då undrar jag bara om det räcker för "bevis", är det verkligen övertygande ? det kanske det är men jag är ej van vid sådana frågor men behöver man inte motivera något mer? eller jag vet ej det låter rimligt liksom

EDIT: kom på att dom i uppgiften hade satt själva arena = 1 men om man väljer en mindre arena borde man väl få en mindre omkrets? så där gjorde jag ju ett hål i beviset

EDIT: kom på att dom i uppgiften hade satt själva arena = 1 men om man väljer en mindre arena borde man väl få en mindre omkrets? så där gjorde jag ju ett hål i beviset

Gör en ny beräkning där du undersäker arean av alla rektanglar som har arean 0,25 ae, exempelvis. Låt den ena sidan ha längden a och den andra längden b. Då gäller det att ab=0,25 och man kan skriva b=1/4a. Vilken är omkretsen för en rektangel med sidorna a och 1/4a? För vilket värde på a är omkretsen som minst? Vilken form har den rektangeln? Har du "gjort hål i beviset"?

Smaragdalena skrev:

EDIT: kom på att dom i uppgiften hade satt själva arena = 1 men om man väljer en mindre arena borde man väl få en mindre omkrets? så där gjorde jag ju ett hål i beviset

Gör en ny beräkning där du undersäker arean av alla rektanglar som har arean 0,25 ae, exempelvis. Låt den ena sidan ha längden a och den andra längden b. Då gäller det att ab=0,25 och man kan skriva b=1/4a. Vilken är omkretsen för en rektangel med sidorna a och 1/4a? För vilket värde på a är omkretsen som minst? Vilken form har den rektangeln? Har du "gjort hål i beviset"?

jag får det till något annat, jag får en mindre omkrets som är 2 istället för 4 om jag väljer arena 0.25 istället

Hej M. M. ,

Låt $R$ vara en rektangel. Rektangelns bas är $x$ decimeter och rektangelns höjd är $y$ decimeter. Då är rektangelns area $A = x\cdot y.$ Du vet att arean är lika med 1 kvadratdecimeter, vilket betyder att $x \cdot y = 1.$

Rektangelns omkrets $C$ är lika med

    $C = x+x+y+y = 2x+2y.$

Eftersom arean hela tiden är lika med 1 så måste höjden $y$ minska om basen $x$ ökar, och vice versa. Detta betyder att det finns ett samband mellan höjd och bas, mer specifikt är detta samband $y = \frac{1}{x}.$ Detta samband medför att rektangelns omkrets bestäms helt och hållet av rektangelns bas. 

    $C = 2\cdot (x + \frac{1}{x}).$

En kvadratkomplettering av uttrycket $x+\frac{1}{x}$ hjälper dig att lösa den aktuella uppgiften.

    $C = 2\cdot \{(\sqrt{x})^2+ \frac{1}{(\sqrt{x})^2}\} = 2\cdot\{(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 + 2\}.$

Den kvadratiska termen är aldrig negativ vilket betyder att den minsta möjliga omkretsen $C$ är $4$ decimeter och erhålls precis då rektangelns bas uppfyller villkoret

    $\sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

det vill säga då $x=1.$ Om basen $x=1$ så ger sambandet mellan bas och höjd att även höjden $y=1.$

Kvadratkompletteringen har alltså visat att den minsta möjliga omkretsen som rektangeln kan ha är 4 decimeter och detta uppstår då rektangeln är en kvadrat med sidlängden 1 decimeter.

Maremare skrev:

Smaragdalena skrev:

Visa föregående citat

EDIT: kom på att dom i uppgiften hade satt själva arena = 1 men om man väljer en mindre arena borde man väl få en mindre omkrets? så där gjorde jag ju ett hål i beviset

Gör en ny beräkning där du undersäker arean av alla rektanglar som har arean 0,25 ae, exempelvis. Låt den ena sidan ha längden a och den andra längden b. Då gäller det att ab=0,25 och man kan skriva b=1/4a. Vilken är omkretsen för en rektangel med sidorna a och 1/4a? För vilket värde på a är omkretsen som minst? Vilken form har den rektangeln? Har du "gjort hål i beviset"?

jag får det till något annat, jag får en mindre omkrets som är 2 istället för 4 om jag väljer arena 0.25 istället

Visst, men det har väl inte någon betydelse? Frågan var ju inte hur stor blir den minsta omkretsen, utan vilken form har den rektangel som har den minsta omkretsen.

Smaragdalena skrev:

Maremare skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

EDIT: kom på att dom i uppgiften hade satt själva arena = 1 men om man väljer en mindre arena borde man väl få en mindre omkrets? så där gjorde jag ju ett hål i beviset

Gör en ny beräkning där du undersäker arean av alla rektanglar som har arean 0,25 ae, exempelvis. Låt den ena sidan ha längden a och den andra längden b. Då gäller det att ab=0,25 och man kan skriva b=1/4a. Vilken är omkretsen för en rektangel med sidorna a och 1/4a? För vilket värde på a är omkretsen som minst? Vilken form har den rektangeln? Har du "gjort hål i beviset"?

jag får det till något annat, jag får en mindre omkrets som är 2 istället för 4 om jag väljer arena 0.25 istället

Visst, men det har väl inte någon betydelse? Frågan var ju inte hur stor blir den minsta omkretsen, utan vilken form har den rektangel som har den minsta omkretsen.

Hmma aa okej okej måste nog förstå frågan igen vilken för mig är det mest utmanande

Rita fyra olika rektanglar som har arean 1.