Visa att.. (kombinatorik)

Tja, vart tredje tal är delbart med tre ...

Arktos skrev:

Tja, vart tredje tal är delbart med tre ...

Tack för svar Arktos,

Då jag är relativt ny inom kombinatorik är jag inte riktigt med på hur jag ska använda mig utav att var tredje tal är delbart med tre. Har du lust att förklara ytterligare?

Fortsätt:

i en obruten följd av fyra naturliga tal är ett delbart med fyra
i en obruten följd av fem naturliga tal är ett delbart med fem
....

ien obruten följd av  k   naturliga tal är ett delbart med   k

Kolla nu  faktorerna i ditt långa tal 

[och kom igen sedan]

EDIT igen:
Jag trodde du skulle visa att den långa produkten är delbar med  k , med ett uppmuntrande utropstecken efteråt.  Nu ser jag att det står en punkt efter utropstecknet, inte så lätt att se. Är uppgiften alltså att visa att den långa produkten är delbar med   k!   ? 

Det var ju en helt annan sak.  Eller kanske ändå inte, och induktion kan vara en bra idé!

Arktos skrev:

Fortsätt:

i en obruten följd av fyra naturliga tal är ett delbart med fyra
i en obruten följd av fem naturliga tal är ett delbart med fem
....

ien obruten följd av  k   naturliga tal är ett delbart med   k

Kolla nu  faktorerna i ditt långa tal 

[och kom igen sedan]

EDIT igen:
Jag trodde du skulle visa att den långa produkten är delbar med  k , med ett uppmuntrande utropstecken efteråt.  Nu ser jag att det står en punkt efter utropstecknet, inte så lätt att se. Är uppgiften alltså att visa att den långa produkten är delbar med   k!   ? 

Det var ju en helt annan sak.  Eller kanske ändå inte, och induktion kan vara en bra idé!

Ja precis, det är k-fakulteten som jag ska dela med, ber om ursäkt ifall jag var otydlig.

Då testar jag att använda mig utav induktion på den. Tack!

Hej igen, 

Jag har gjort det första steget inom induktion men stöter på svårigheter vid det induktiva antagandet. Man ska då i vanliga fall anta att detta gäller för något positivt heltal n. Men hur gör jag nu när jag har två variabler k och n? 

Det var inte du som var otydlig. Det var texten.

Prova med att ta en variabel i taget (jag vet inte men det skulle jag göra).

Kolla att det gäller för varje   n ≥ 1   om  k = 1
Kolla att det gäller för varje   n ≥ 1   om  k = 2

bl a för att få kläm på hur det gestalta sig.

Antag att det gäller för varje   n ≥ 1   om  k = p

etc

tills du kommer fram till att det gäller för varje   n ≥ 1   om  k ≥ 1

och då är väl saken klar?

Okej jag har nu kontrollerat en variabel i taget och ska nu göra mitt induktiva antagande och då förstår jag det som att jag ska göra även den i två steg?

Det vill säga att jag antar att det gäller för varje n≥1 om k = p och för varje k≥1 om n = p?

Om jag gör på detta sätt, hur ska jag då ange variabeln n respektive k i de olika stegen när de är ≥1 i induktionssteget?

Jag tänkte mig en i taget

Antag att det gäller för varje   n ≥ 1   om  k = p  
Visa (förhoppningsvis) att det också gäller för  k = p + 1   

etc.

men jag vet inte om den vägen är framkomlig

Jag stannar här och lämnar över den bollen till någon annan.

MEN, och det verkar intressant
En annan iakttagelse  är att uttrycket är
    produkten av [en följd av  k  konsekutiva naturliga tal] som inleds med talet  n  . 

Och det finns ett samband mellan  n  och  k   eftersom uttrycket måste vara positivt
Detta får mig att tänka på Pascals triangel och alla binomialkoefficienterna! 

Vi kan väl prova lite:  n=6 och k=5  ger produkten
(här skriver jag inte ut parenteser och gånger-tecken)

             6  6+1  6+2  6+3  6+4 ,  sista faktorn är    6 + 5 - 1

Skulle 6 7 8 9 10 = 10!/5!  vara delbart med  5!  ?   
Jajamen, det är ju binomialkoefficienten [10 över 5]

Kanske detta är något du kan komma vidare från?

Jag vet inte om detta är ett bevis. Men jag skrev om det som (n+k-1)!/(n-1)!  delar man det med k! får man nåt välkänt?

Jag tror att man kan ta hjälp av hur man bevisar binomialkoefficienter.

Om vi antar att $k=2$, så har vi:

$n(n+1)(n+2)(n+3)=(m-3)(m-2)(m-1)m$

för $m =\hspace{0.17em}n+3=n+k+1 > k >1$.

Ignorera mitt ovanstående, jag fick för mig att sista parentesen var $(n+k+1)$, men istället så jag tror såhär för ett generellt $k$:

$n(n+1)(n+2)...(n+k-1) = m(m-1)(m-2)...(m-k+1)$

om $m = n+k-1$. Detta är lättare att känna igen, och 

$m(m-1)...(m-k+1) = \frac{m!}{(m-k)!}$.

Vi vet att för generella heltal $m\ge k\ge 1$, så är 

$\frac{m!}{(m-k)!k!}$

också ett heltal, eftersom att det är en binomialkoefficient. Det följer från att $k$ är mindre än $m$, och alltså ingår $k!$ i $m!$.