Visa att integralen är konvergent

Hej jag har löst denna fråga men jag är lite osäker med min lösning.

Fråga: Visa att integralen är konvergent
$\int_{0}^{\infty} \frac{2 x - 4}{x^{3} + 1} d x$

Min lösning: Integralen är negativ för x<2 och positiv för x>2. Och för stora x kan man ersätta integralen med en annan integral: $\int \frac{2}{x^{2}} d x$ . Jag delar upp integralen till $\int_{0}^{2} \frac{2 x - 4}{x^{3} + 1} d x + \int_{2}^{\infty} \frac{2}{x^{2}} d x$ . Nu kan jag strunta i första delen eftersom den inte är en generaliserad integral. Sen undersöker jag andra delen med t.

$\int_{2}^{t} \frac{2}{x^{2}} d x = {[\frac{- 2}{x}]}^{t_{2}} = \frac{- 2}{t} + \frac{2}{2} = 1 - \frac{2}{t} \lim_{t \to \infty} 1 - \frac{2}{t} = 1$

Eftersom $\int_{2}^{\infty} \frac{2}{x^{2}} d x$ närmar sig ett gränsvärde och är konvergent med värdet 1 så kan man konstatera att $\int_{0}^{\infty} \frac{2 x - 4}{x^{3} + 1} d x$ är också konvergent.

Min fråga till er: Kan man verkligen konstatera detta eller hittar jag på? Och finns det kanske något bättre sätt att svara frågan?

Jag skulle godkänna din lösning med ett litet avdrag för att

1. Du har ej visat, att du kan ersätta den givna integranden med 2/x² . Detta är i och för sig ingen större konst: (2x-4)/(x³+1) <= 2x/(x³+1)<=2x/x³ =2/x²

2. Du ska nog inte bara "strunta" i intervallet 0<=x<2. Intervallet är visserligen begränsat, men man bör kolla att nämnaren inte blir 0 någonstans där man ska integrera. Nu kan detta inte hända här för x³+1 >1 för icke-negativa x. Detta bör emellertid påpekas.

I dina formuleringar måste du göra skillnad på begreppen "Integral" och "Integrand". Det sistnämnda är den funktion som ska integreras och det är den, som du uppskattar med en integrand som är lättare att integrera. Du bör också ange att du stödjer dig på "Jämförelsekriteriet." Annars bra att du tittar på integrandens tecken.

Detta var lite tips och råd.

Svara