Visa att given funktion är en kumulativ fördelningsfunktion

Jag har problem att utifrån detta teorem

avgöra utifrån denna uppgift

huruvida den angivna funktionen är en cdf.

Såhär långt har jag kommit:

1: $\lim_{x \to - \infty} (1 - x^{- α}) = 1 - {(- \infty)}^{- α}$ och $\lim_{x \to \infty} (1 - x^{- α}) = 1$

2: Ritar man upp grafen för funktionen, går det att se att den är ej avtagande för $α > 0$

3: Här förstår jag inte riktigt hur jag ska gå tillväga. Ska jag bara ta någon godtycklig punkt för x > 1 och sen...?

Utmärkt början! Du kan visa att F(x) är en icke-avtagande funktion genom att derivera och visa att derivatan aldrig är negativ.

Kontinuitet från höger kan i detta fall visas genom att F(x) består av elementära funktioner, som är kontinuerliga i varje punkt. :)

a) Din funktion börjar i x=1, så det är underförstått att den är 0 innan dess, ända från -oo.

b) Den är ganska lätt att derivera, och det ser mkt bättre ut.

c) Din funktion är angiven på 2 intervall, 0 om x<=1, och 1-x.. om x>1. Det är känt att kombinationer av elementära funktioner (polynom, ln, e, trigg) är kontinuerliga, så den enda punkt som är tveksam här är x=1,det räcker att undersöka den nu när vi konstaterat kontinuitet på resten av R.

Tack för era svar, nu förstår jag!

Om jag deriverar i 2), ger jag inte då svaret till b-uppgiften då också?

Hej,

Det gäller att

$F(x) = \left\{1-x^{-a}\ , \quad x>1\\0 \ , \quad x\leq 1\right.$

Om $x < 0$ så är $F(x) = 0$ varför $\lim_{x\to-\infty}F(x) = 0.$
Om $x>1$ så är $\lim_{x\to\infty}F(x) = 1-\lim_{x\to\infty}x^{-a} = 1-0$ eftersom $a>0.$

Eftersom $a>0$ så är funktionen $u\mapsto u^{-a}$ avtagande för $u>1$ vilket ger att funktionen $u\mapsto 1-u^{-a}$ är växande för $u>1$ .

Om $x_0\leq 1$ så är $F(x_0) = 0$ och om $x$ avtar mot $x_0$ så kommer $x$ så småningom också att uppfylla $x\leq 1$ och därför är $\lim_{x\downarrow x_0}F(x_0) = 0.$
Om $x_0>1$ så är $F(x_0) = 1-x_0^{-a}$ och om $x$ avtar mot $x_0$ så kommer $x$ hela tiden att uppfylla $x>1$ och på grund av att funktionen $u\mapsto 1-u^{-a}$ är kontinuerlig i punkten $x_0$ så gäller det att $\lim_{x\downarrow x_0}F(x) = F(x_0).$

$F_Y(y)=P(Y\leq y) = P(\text{log} X \leq y) = P(X\leq e^y) = F_X(e^{y}).$

Förutsatt att $X$ är en kontinuerlig slumpvariabel ger derivering täthetsfunktionen

$f_Y(y) = f_X(e^y) \cdot e^y.$

Tack Albiki, mycket bra!

Löste själv c-uppgiften på samma sätt, skönt att kunna verifiera mitt svar.

Terminologi
"Kumulativ fördelningsfunktion" låter för mig som tårta-på-tårta.
Eller har det med översättningen från engelska att göra?

Med exemplet i 6a) skulle jag säga:

X är Pareto-fördelad
X har fördelningsfunktionen F(x) = ...
X har täthetsfunktionen f(x) = ...

Finns det andra uttryckssätt?

Svara

Visa senaste svar