Visa att funktionen saknar rationella rötter (Matematik/Universitet)

Eftersom f(x) är av lägsta möjliga grad är Liouvilles konstant den enda roten. Liouv. konstant är irrationell. Är inte säker på att det räcker som svar. Tror ni man behöver bevisa det? Det gäller alltså fråga 1.

Om du ska få det till ett heltalspolynom behövs nog fler rötter. x-a kommer inte bli det om inte a är ett heltal. Tror jag..

Micimacko skrev:
Om du ska få det till ett heltalspolynom behövs nog fler rötter. x-a kommer inte bli det om inte a är ett heltal. Tror jag..

Vad är definitionen av ett heltalspolynom?

Att koefficienterna a_0, a₁, a₂ och så vidare är heltal.

Smaragdalena skrev:
Att koefficienterna a_0, a₁, a₂ och så vidare är heltal.

Så Liouvilles konstant kan inte vara den enda roten alltså?

Hej,

Uppgift 1. Initialt kan man notera följande. Låt $x=p/q$ , där heltalen $p$ och $q$ är relativt prima, vara en rot till polynomet. Då är

$a_0q^{n}+a_1 pq^{n-1}+\cdots+a_{n-1}qp^{n-1}+a_np^{n}=0$

och a-koefficienterna saknar gemensam delare. Det följer att $a_0$ är delbar med $p$ och $a_n$ är delbar med $q.$

Uppgift 1 är nog lättare än vad du tror.

Två observationer:

Det gäller för alla irrationella tal, så du behöver inte dribbla med uttrycket för konstanten. Tex: vilket är det minsta polynom med heltalskoefficienter som har sqrt(2) som rot. Jo x^2-2, som saknar rationella rötter. Det är lättare att bevisa det generella fallet tror jag.

Om det finns ett polynom med rationella koefficienter av grad n som har x som rot så finns ett polynom med heltalskoefficienter av grad n som har x som rot. Du kan alltså i uppgift 1 helt ignorera att vi har heltalskoefficienter och resonera om rationella koefficienter. I synnerhet innebär det att du kan förkorta bort a_n.

Skiss av lösningsstrategi:

Antag att f(x) har en rationell rot p/q.

Formulera sambandet mellan rötter och koefficienter, det blir n+1 ekvationer (Viete-formlerna).

I var och en av de n+1 ekvationerna: dela in termerna i två grupper, de som innehåller p/q och de som inte gör det.

Dra lite slutsatser om vad som måste rationellt.

Visa att samma uppsättning rötter, minus den rationella roten, ger n Viete-ekvationer motsvarande ett polynom med rationella koefficienter.

Hehe inser när jag skriver det att det kanske inte är jätteenkelt.

Eller det är lättare att bryta ut (x-p/q) och resonera koefficient för koefficient att de måste vara rationella.

Smutsmunnen skrev:
Eller det är lättare att bryta ut (x-p/q) och resonera koefficient för koefficient att de måste vara rationella.

Jag förstår inte hur jag ska göra det

Ok, antag att $f (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$

är det minimala (med avseende på grad) heltalspolynom som har $α$ som rot.

Antag att f(x) även har en rationell rot $β .$

Då kan vi skriva (1)

$(x - β) \sum_{i = 0}^{n - 1} b_{i} x^{i} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$

Du vet att $β$ och alla är $a_{i}$ rationella.

Men nu har vi $- β b_{0} = a_{0}$ så $b_{0}$ är rationell. Vi fortsätter att jämföra koefficienter i VL och HL av ekvation (1):

$- β b_{1} + b_{0} = a_{1}$

och vi vet nu att $β, b_{0}, a_{1}$ är rationella så även $b_{1}$ är rationell. Fortsätter vi resonera så här koefficient för koefficient så får vi att alla $b_{i}$ är rationella. Så $g (x) = \sum_{i = 0}^{n - 1} b_{i} x^{i}$ är ett polynom med rationella koefficienter av grad n-1 som har $α$ som rot. Förlänger vi g(x) med välvalt heltal får vi polynom med heltalskoefficienter av grad n-1 som har $α$ som rot, vilket strider mot antagandet att f(x) var minimalt. Så f(x) har ingen rationell rot.