Visa att funktionen aldrig är delbar med 6 - frågor

Jag skulle kolla hur a² och 2^a beter sig var för sig modulo 6:

a  1 2 3 4 5 6

a² 1 4 3 4 1 0

2^a 2 4 2 4 2 4

a² har tydligen en period på 6, och 2^a har perioden 2. Summan har alltså perioden 6, och det är bara att kolla de sex första fallen.

Sen bevisa dessa små påståenden också...

Tack för svar!

Vad exakt betyder det att a² och 2^a har en period på 6 respektive 2? Betyder det att resterna är återkommande i intervall på 6 respektive 2?

Ja, de fortsätter 1 4 3 4 1 0 1 4 3 1 0 ... respektive 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 ...

Så de är med andra ord de enda möjliga resterna?

Ja, summerar du dem får du 3 2 5 2 3 4 3 2 5 2 3 4 ...

Bara så att jag förstår det rätt: på den översta raden har du stoppat in värden på a, medan de undre raderna är resterna hos termerna i f(1), f(2) osv... då man delar med 6?

Ja, om jag inte har gjort fel någonstans.

Kommer det alltid finnas en period på sättet du beskrev? Hur kan man bevisa det?

Om du räknar modulo 6, så finns det bara 6 olika ekvivalensklasser (olika rester). Efter högt 6 steg kommer du att komma tillbaka till ett värde som du redan "har varit på", och efter detta kommer mönstret att upprepa sig.

Du kan nog bevisa beteendet rätt lätt för var och en av a^k och k^a. Sen får du ta reda på den totala perioden och prova dig fram huruvida summan kan ge resten 0.

Okej, jag har tänkt en del nu men jag är fortfarande förvirrad (kan bero på glukosbrist). Så som jag förstår det som sagts här är varje rest beroende av den föregående resten:

Låt $2^n$ ha resten $r_n$ vid division med 6 så att:

$\displaystyle 2^{a}\equiv _{6}r_{n}\iff 2^{a}=6q_{n}+r_{n}$

$\displaystyle \implies r_{n+1}\equiv _{6}2^{a+1}\equiv _{6}2\cdot 2^a\equiv _{6}12q_{n}+2r_{n}\equiv _{6} 2r_{n}$

$\displaystyle \implies r_{n+1}\equiv _{6} 2r_{n}$

Och enligt denna rekursivt definierade följd för resterna ser vi att endast resterna 2 och 4 kan förekomma. Men jag lyckas inte göra samma sak för den andra termen a². Hur kan man göra för den?

För den kan du betrakta (6n+m)², där m är mellan 0 och 5.

Varför betraktar vi bara $a$ och inte $a^2$? Är det inte $a^2$ vi vill undersöka? Alltså vi skriver om a:et som ett heltal och en rest istället för $a^2$.

Jo, jag menade att vi skriver a som 6n+m.

Ja, det är jag med på. Men vad förenklar det att skriva a på det sättet?

För då har man något man kan räkna modulo på, och förhoppningsvis kan man dra slutsater frå de resultaten.

En fråga dessutom om det rekursiva sambandet jag kom fram till ovan: det gäller inte då r_n=3, eller? Nu vet ju jag att det aldrig kommer inträffa, men låt säga att det fanns något tal a som gav en rest 3. Hade resonemanget fortfarande fungerat då?

Eller nu när jag har fått sova på saken tror jag inte det spelar någon roll. Låt säga att den första resten skulle vara $r_n = 3$. Det skulle bara betyda att funktionen alltid blir delbar med 6 för alla andra a. Men det rekursiva sambandet stämmer ändå.

Hej, igen! Jag har försökt ta fram ett rekursivt samband likt det jag kom fram till ovan men det blir lite fel. Jag försökte först köra på förslaget du föreslog, @Laguna, men jag stöter på samma problem då som jag gör när jag bara kör direkt utan omskrivning. Jag har en typ lösning nu men den känns väldigt klumpig:

$\displaystyle a^{2}=6k_{a}+r_{a}\implies r_{a}\equiv _{6}a^{2}$

$\displaystyle r_{a+1}\equiv _{6}a^{2}+2a+1\equiv _{6}r_{a}+2\sqrt{6k_{a}+r_{a}}+1$

$\displaystyle \therefore r_{a+1}\equiv _{6}r_{a}+2\sqrt{6k_{a}+r_{a}}+1$

Det här är som sagt otroligt klumpigt. Man skulle behöva tabellera $k_a$ också. Är det här på rätt spår eller är jag helt ute och cyklar? Helst vill jag ju bara uttrycka förhållandet i termer av $r_a$...

Tips uppskattas!

a = 6n+m

a² = (6n+m)² = 36n²+12mn + m² som är kongruent med m² (eftersom de båda första termerna är delbara med 6)

Undersök de olika kongruensklasserna:

1 => 1
2 => 4
3 => 9 => 3
4 => 16 => 4
5 => 25 => 1
0 => 0

Ja okej, då är jag med. Insåg imorse också att man kan använda:

$\displaystyle x\equiv_{n} y\implies g(x)\equiv _{n}g(y)$

eftersom a² är ett polynom med heltalskoefficienter.