Visa att funktion är halvkontinuerlig (används för att visa stark dualitet)

Hej,

Jag har följande problem:

$$\begin{gathered} Låt X\subseteq {\mathrm{ℝ}}^n vara en kompakt mängd och f: X\to \mathrm{ℝ}, g: X\to \mathrm{ℝ} kontinureliga funktioner. \\ Visa att \varphi \left(b\right) = min\left\{f\right(x) : g(x) \ge b, x \in X\} är halvkontinuerlig. \\ Definition av halvkontinuerlig: f halvkontinuerlig \iff epi\left(f\right) sluten \end{gathered}$$

För att ge lite kontext ger detta tillsammans med konvexitet stark dualitet, och är därför en viktig del av kursen. Just nu känns det bara som att jag kan visa halvkontinuitet då det är grafiskt uppenbart eller om jag kan visa att funktionen är kontinuerlig.

Om någon kan ge mig en knuff i rätt riktning eller kan ge ett generellt tillvägagångssätt för att visa halvkontinuitet vore det kanon!

Allt gott,

Arvid