Visa att funktion är diskontinuerlig i varje punkt i ett intervall.

Jag har en uppgift som lyder:

"Visa att det inte finns några punkter $x \in [0, 1]$ där funktionen

$g (x) = \{\begin{cases} 0 o m x i r r a t i o n e l l \\ 1 o m x r a t i o n e l l \end{cases}$ är kontinuerlig."

Alltså representeras g(x) av antingen linjen y=0 eller y=1 beroende på om x är irrationell eller rationell. Den informella definitionen av en kontinuerlig funktion är att "funktionen är kontinuerlig om man kan rita den utan att lyfta pennan". Om man utgår ifrån denna informella definition så vet man att g(x) är diskontinuerlig i intervallet eftersom att funktionen kommer skifta mellan linjen y=0 och y=1 på intervallet pga att x har både irrationella och rationella tal mellan 0 och 1. Ett sånt informellt argument är ju dock värdelöst.

Den formella definitionen lyder: "Funktionen f sägs vara kontinuerlig i x = a
om $\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ ." Men hur kan man räkna ut ett gränsvärde av g(x) om g(x) inte har någon formell definition? g(x) är ju en "konditionell funktion" (vet inte om det är rätt term men ni förstår vad jag menar). Liksom vad är t.ex. $\lim_{x \to 1} g (x)$ ?

Jag vet också att antalet irrationella siffror mellan 0 och 1 är oändliga, men jag förstår inte riktigt hur detta hjälper mig.

Hjälp?

Tack!

Hur många rationella resp irrationella tal kommer varje omgivning till ett specifikt x i intervallet innehålla?

Anta att det slutna intervallet [0,1] innehåller en kontinuitetspunkt till funktionen f. Visa att detta leder till en motsägelse, för att kunna dra slutsatsen att det slutna intervallet [0,1] saknar kontinuitetspunkter till funktionen f.

(Funktionen f ska vara funktionen g.)

Albiki skrev:
Anta att det slutna intervallet [0,1] innehåller en kontinuitetspunkt till funktionen f. Visa att detta leder till en motsägelse, för att kunna dra slutsatsen att det slutna intervallet [0,1] saknar kontinuitetspunkter till funktionen f.
(Funktionen f ska vara funktionen g.)

Fast... hur? Om jag inte är smart nog för att komma på ett bevis så är jag knappast smart nog för att komma på att motbevis haha :). Behöver i alla fall ett tips till hur jag ska börja med detta. Genom att använda den formella definitionen (med gränsvärden) eller på något annat sätt?

Antag t ex att funktionen är kontinuerlig mellan $\frac{31415}{100000}$ och $\frac{31416}{100000}$ . Men det finns irrationella tal vars värde ligger mellan dessa värden, t ex $\pi/10$ . Alltså är mitt antagande felaktigt. Detta var ett kontinuitetsintervall och inte en kontinuitetspunkt, så jag tror inte det är ett godtagbart bevis, men att tankegången är korrekt.

Det finns ju en egenskap (som är en sats) hos kontinueliga funktioner som säger att om en funktion är kontinuelig på ett slutet och begränsat intervall så har funktionen ett största och ett minsta funktionsvärde på detta intervall. Kan man använda sig utan den på något sätt ? (obs jag vet inte själv hur man löser uppgiften, bara funderar)

(edit jag ser nu att det är precis så som den övre kommentaren säger)

(edit jag ser nu att det är precis så som den övre kommentaren säger)

Vilken av kommentarerna är det du tycker säger så? Jag kan inte tilka någon av dem på det sättet.

Smaragdalena skrev:
(edit jag ser nu att det är precis så som den övre kommentaren säger)
Vilken av kommentarerna är det du tycker säger så? Jag kan inte tilka någon av dem på det sättet.

Jag tänkte din tidigare kommentar men då mistar jag mig! det satsen jag nämnde handlar ju också om kontinuitet på ett intervall och inte på en punkt

Jo, du har rätt, så kan man också formulera det.

Om man väljer epsilon=0,5 i definitionen av kontinuitet och antar att man vet att varje öppet intervall innehåller båda reella och rationella tal borde man kunna visa diskontinuiteten.

Hej!

Anta att funktionen $f$ är kontinuerlig i en punkt ( $a$ ) som ligger i det öppna intervallet $(0,1)$ . Välj ett positivt avstånd ( $\epsilon$ ) som är mindre än det minsta av talen $a$ och $1-a$ . För alla punkter x som ligger tillräckligt nära punkten a så kommer $f(x)$ att vara $\epsilon$ -nära $f(a)$ .

Om a är ett rationellt tal så kommer $f(x) = 1$ vilket betyder att x också är ett rationellt tal, och detta ska gälla för alla x som ligger nära a, speciellt ska det gälla för alla irrationella tal som ligger nära a, vilket betyder att $f(x) = 0$ . Detta är omöjligt.
Om a är ett irrationellt tal så ...

Svara

Visa senaste svar