Visa att följande integral är konvergent
Visa att: funktionen i bilden längst upp är 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡.
Jag visst einte riktigt hur jag skulle "tackla" denna uppgift då den känns lite för avancerad för matematik 5. Vi har inte lärt oss sådana svåra upplägg och det finns inget i matteboken som verkar likadant, endast enkla generaliserade integraler av typen f(x) = 1/x^4, f(x)= 5x^(-2/3) osv vilka är rätt så enkla att lösa.
kan ni hjälpa mig.. jag har kommit så här långt.
Du behöver inte räkna ut integralen för att visa att den är konvergent..Kalla integranden för f. Den är kontinuerlig i hela int. området. På det begränsade intervallet 0<=x<3 är f begränsad.. Då är integralen där ändlig. För x>=3 är 0<=f(x)<=2/x2 VISA! Den sistnämnda fknen kan du lätt beräkna integralen över det oändliga intervallet x>=3. (Har du beräknat integraler över oändliga intervall tidigare? Om inte - återkom).
SOm jag nämde innan har jag beräknat med oändliga intervall tidigaremen med lättare funktioner.
Jag får liksom inte grepp på hur jag ska visa detta. Jag har aldrig läst eller lärt om de du nämner ovan..
Det jag använt ovan kallas ”Jämförelsekriteriet”. När jag själv hanterade det första gången så var det på universitetet, så jag skulle inte bli förvånad om du aldrig hört talas om det. Man kan emellertid finna primitiv fkn till den här integranden om du vet vad den primitiva fknen till x/(x2+1) och till 1/(x2+1) är. Kanske du har dem i din godkända formelsamling?
Även om vi inte har lärt oss detta ännu hittade jag efter att ha kollat på matematik videos online the comparison theory..
Jag tänker att detta är ett smidigare sätt att utföra beräkningar och se ifall den är konvergent eller ej.
Som du säkert känner igen. Så här långt har jag kommit.
Jag vet bara inte nu om jag ska multiplicera konstanten 2 med den primitiva funktionen eller om det räcker med att påstå att denna funktionen är divergent och ej konvergent då 1/x P=1 och ej större än 1 för att fylla kriteriet att vara konvergent. Sedan måste man göra bevis och sådant med tänkte just på detta steget.
Hur gör jag?
TAck,
Är lessen att jag läste fel i mitt senaste svar för det står ju x3+1 i nämnaren - inte x2+1 som jag skrev sist. Det går fortfarande att finna den primitiva fknen, men det är så kniffligt att jag avråder och hänvisar till den förstnämnda metoden med jämförelsekriteriet.
Är det inte de jag visar nu i andra svaret.
Ja men exakt därför har jag lagt ner med att försöka hehe, gjorde de ett par antal gånger och det blev endast fel.
Om man försöker hitta en enklare funktion att integrera jämfört med funktionen som står i uppgiften blir det väl: (2x)/(x^3). Sedan tar man ut konstanten enligt lag, därefter genom potenslag så att det blir 1/x om man kikar på exponenten på x ser man att de är 1 vilket enligt comparison test P=1 dvs är funktionen divergent om 0<p<eller lika med 1.
Därför frågade jag pga av att uppgiften säger att jag ska visa att funktionen är konvergent, så är min lösning inte så optimal.. eller?
Vad gör jag av med konstanten ska jag multiplicera in den blir det ju 2 ln absolut x.
Hur går jag vidare?
Du gör nästan helt rätt, men 2x/x3 = 2/x2 och då blir det konvergent. 2:an kan du ha inne i integrationen eller utanför - det spelar ingen roll.
helt snurrig. x^1/x^3 är ju givetvis x^-2 vilket är 1/x^2. tack.
