Visa att följande integral är konvergent

Jag skall visa att $\int_{1}^{\infty} \sin (\frac{1}{x^{2}}) \cos (x^{2}) d x$ är konvergent. Detta har jag gjort genom att visa absolutkonvergens, men jag är osäker på om mitt resonemang är vattentätt och vill därför gärna ha lite input på min lösning.

$| \sin (\frac{1}{x^{2}}) \cos (x^{2}) | = | \sin (\frac{1}{x^{2}}) | | \cos (x^{2}) | = \frac{1}{x^{2}} \frac{| \sin (\frac{1}{x^{2}}) |}{\frac{1}{x^{2}}} | \cos (x^{2}) | \leq \frac{1}{x^{2}}$

eftersom $\frac{\sin (\frac{1}{x^{2}})}{\frac{1}{x^{2}}} \overset{x \to \infty}{\to} 1$ och $| \cos (x^{2}) | \leq 1$ .

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$ konvergent $\Rightarrow$ $\int_{1}^{\infty} | \sin (\frac{1}{x^{2}}) \cos (x^{2}) | d x$ konvergent och den givna integralen är därmed absolutkonvergent.

Är det något jag missat i mitt resonemang eller lösninggång?

Jag tycker att det ser bra ut i stort. Dock så tycker jag att du kunnat vara noggrannare i att visa att $\frac{|sin(\frac{1}{x^2})|}{\frac{1}{x^2}} \leq 1$ i integrationsintervallet.

Hej!

Om vinkeln $0<>$ så visar en rätvinklig triangel vars hypotenusa är lika med $1$ och vars ena spetsiga vinkel är $v$ att $0 < \sin="" v=""><>$ . Därför gäller det att

$\displaystyle\frac{\sin \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} <>$ för alla $x > 1.$

Följaktligen är

$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2} \cdot\left|\frac{\sin \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}\right|\cdot |\cos x^2|\,dx \leq \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2} \cdot\1\cdot 1\,dx = 1$

och integralen

$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\sin \frac{1}{x^2} \cos x^2\,dx$

är absolutkonvergent.

Svara