Visa att f(x)=arctanx+arccotx är konstant. Vilket är dess värde?

Svara på följande frågor så får du en uppfattning om varför den är konstant och vad har den för värde.

1- Vilken är def mängden?

2- Bestäm gränsvärdet när x går mot $\pm \infty$

3- Derivera funktionen.

4- Rita en teckentabell.

Det stämmer inte att arctan(x) = arcsin(x)/arccos(x).

Laguna skrev:

Det stämmer inte att arctan(x) = arcsin(x)/arccos(x).

Hm okej då har jag blandat ihop det med sinx/cosx

Prova att sätta u=arctan x och v=arccot x och sedan titta på tan(f(x))=tan(u+v) som du kan utveckla m h a summaformler för tan och sambandet mellan tan och cot.

Tomten skrev:

Prova att sätta u=arctan x och v=arccot x och sedan titta på tan(f(x))=tan(u+v) som du kan utveckla m h a summaformler för tan och sambandet mellan tan och cot.

Det låter som en bra ide. Hur fick du tan(f(x))? 

Det torde hjälpa att titta på enhetscirkeln och trianglar som har vinklarna arccot(x) och arctan(x) nånstans.

Ett tips är att rita upp en rätvinklig triangel där en katet är $x$ och en annan $1$.

Laguna skrev:

Det torde hjälpa att titta på enhetscirkeln och trianglar som har vinklarna arccot(x) och arctan(x) nånstans.

I kursboken står det att Df för arctan är (0,pi) och Vf är [-1,1]. Arccot har Df (0,pi)och Vf [-1,1]

tomast80 skrev:

Ett tips är att rita upp en rätvinklig triangel där en katet är $x$ och en annan $1$.

Yes det gjorde jag. Men om ena vinkel är 90 grader pga vi har en rätvinklig triangel. Ska man ta reda på de andra vinklarna?

Vinkeln 90 grader ska du inte titta på. Det är de två andra vinklarna som är intressanta.

Laguna skrev:

Vinkeln 90 grader ska du inte titta på. Det är de två andra vinklarna som är intressanta.

Vinklarna arcot(x) samt arctan(x) menar du?

Det finns ett formelsamband mellan arctan(x) och arccotan(x). Finns inte det en formelsamling i boken? Annars googla. Geogebra ger också en hint.

rapidos skrev:

Det finns ett formelsamband mellan arctan(x) och arccotan(x). Finns inte det en formelsamling i boken? Annars googla. Geogebra ger också en hint.

Nej det finns ej. Men däremot vet jag att arcsinx+arccosx=pi/2

rapidos skrev:

Det finns ett formelsamband mellan arctan(x) och arccotan(x). Finns inte det en formelsamling i boken? Annars googla. Geogebra ger också en hint. Ni

Finns det några begränsningar på x? Annars stämmer inte påståendet. arctan(1) + arccot(1) = pi/2, men arctan(-1) + arccot(-1) = -pi/2.

Vi har cot(w)= cos w/sin w=sin(pi/2-w)/cos(pi/2-w)= tan(pi/2-w). Med u=arctan x och v=arccot x får vi i första kvadranten x=tanu = cot v = tan(pi/2-v) ==> u=pi/2 -v ==> u+v = pi/2 som den sökta konstanten.

Tomten skrev:

Vi har cot(w)= cos w/sin w=sin(pi/2-w)/cos(pi/2-w)= tan(pi/2-w). Med u=arctan x och v=arccot x får vi i första kvadranten x=tanu = cot v = tan(pi/2-v) ==> u=pi/2 -v ==> u+v = pi/2 som den sökta konstanten.

Hänger ej med på vad du menar med u=arctanx och v=arccotx

Laguna skrev:

Finns det några begränsningar på x? Annars stämmer inte påståendet. arctan(1) + arccot(1) = pi/2, men arctan(-1) + arccot(-1) = -pi/2.

Ja men det är ej fallet här va?