Visa att f är konstant om undre Riemannsumma är lika med övre Riemannsumma

Hej! Jag sitter med följande uppgift ur en mattebok jag har hemma:

Suppose $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ is a bounded function, such that $\displaystyle L(f,P,[a,b])=U(f,P,[a,b])$ , for some partition $P$ of $[a,b]$ . Prove that $f$ is a constant function on $[a,b]$ .

Jag tänkte att om både övre och undre Riemannsumma ska vara lika, för samma partionering, kan vi säga att:

$\displaystyle \inf_{[x_{j-1},x_j]} f=\sup_{[x_{j-1},x_j]} f$

Om supremet till $f$ är samma som dess infimum, över samma intervall, betyder det att funktionen måste vara konstant över det. Om det dessutom gäller för alla (tillåtna) $j\in\mathbb{N}$ måste det vara sant över hela $[a,b]$ , eftersom:

$\displaystyle [a,b]=[x_0,x_1]\cup [x_1,x_2]\cup ...\cup [x_{j-1},x_j]$

Är detta rätt tänkt?

Ifall detta inte är allmängiltig notation definieras:

$\displaystyle U\left(f,P,\left[a,b\right]\right):=\sum_{j=1}^{n}\left(x_j-x_{j-1}\right)\sup_{[x_{j-1},x_j]}f$

och den nedre summan definieras på motsvarande sätt med $\inf$ istället.

Låt intervallet vara [0,2] Sätt f=0 på [0,1) och f=1 på [1,2] Då är över- och undersumman lika för alla partitioner med en delning vid x=1, men f är inte konstant. Det verkar saknas något i texten eller borde ordet ”some” ersättas med ” every”? Kanske något annat jag inte ser.

Nu kanske jag är ute och cyklar, men över- och undersumman är väl inte alls lika i ditt fall? Partitionen $P$ måste ju innehålla ett delintervall $[x_{j-1},x_j]$ sådant att $x_{j-1}<1$ , medan $x_j\ge 1$ . Och i detta fall blir ju supremum och infimum till $f$ olika i det delintervallet.

Här är för övrigt en bild ur boken:

Påståendet säger att det räcker med En partition P för att vara sant. Jag valde en P där x=1 är en delningspunkt. I denna P finns inget delintervall där x=1 är en inre punkt. I intervallet [0,1) är sup f = inf f =0. I intervallet [1,2] är sup f = inf f=1. Då är f inte konstant i [0,2].

Om ordet ”some” ersätts med ”every” så kommer påst att stämma. Ty antag att f(a) är skilt från f(b) någonstans i intervallet. Då kan vi välja en P med ett delintervall som omfattar både a och b och få motsägelse till att under- resp översumman är lika.

I intervallet [0,1) är sup f = inf f =0. I intervallet [1,2] är sup f = inf f=1. Då är f inte konstant i [0,2].

Det håller jag med om. Men över- och undersumman är väl endast definierade på stängda intervall? Alltså måste vi kolla på intervallen $[0,1]$ samt $[1,2]$ . Och då ser vi mycket riktigt att:

$\displaystyle \inf_{[0,1]}f ≠ \sup_{[0,1]}f$

En partition behöver vara disjunkt om man ska använda den för att definiera integral och det får man nog utgå från här.(Gäller både Riemann och Lebesgue). Annars kan det finnas delmängder som får bidra mer än en gång till integralens värde. Med slutna eller öppna mängder kan integrationsområdet i så fall inte vara sammanhängande som i mitt exempel.

Svara

Visa senaste svar