Visa att ett trigonomiskt uttryck är lika med ett annat uttryck

Visa att:

$\frac{2}{1+\cos 2x}=1+\tan ²x$

för alla x där uttrycken är definierade

Jag tänker såhär:

HL kan man endast skriva om till $1+\frac{\sin ²x}{\cos ²x}$ så det måste vara VL som ska skrivas om

VL kan skrivas om på tre olika sätt:
$\frac{2}{1+\cos ²x-\sin ²x}$

$\frac{2}{1+2\cos ²x-1}$= $\frac{1}{\cos ²x}$=$\frac{\sin ²x+\cos ²x}{\cos ²x}=\sin ²x$

$\frac{2}{1+1-2\sin ²x}$= $\frac{2}{2-2\sin ²x}$=$\frac{2\left(1\right)}{2(1-\sin ²x)}=\frac{1}{1-\sin ²x}$=$\frac{\sin ²x+\cos ²x}{\sin ²x+\cos ²x-\sin ²x}=\sin ²x$

sen kom jag på att man kunde skriva om 1:an i nämnaren;

$\frac{2}{1+\cos 2x}=\frac{2}{\sin ²x+\cos ²x+\cos 2x}$

och fick då tre till från att skriva om cos2x

$\frac{2}{\sin ²x+\cos ²x+\cos ²x-\sin ²x}=\frac{2}{2\cos ²x}=\frac{1}{\cos ²x}$

$\frac{2}{\sin ²x+\cos ²x+2\cos ²x-1}=\frac{2}{3\cos ²x+\sin ²x-1}$

$\frac{2}{\sin ²x+\cos ²x+1-2\sin ²x}=\frac{2}{\cos ²x+1-\sin ²x}$

Jag kommer ingen vart, känns som om jag gjort ett fel någonstans i början, vad är det jag missar?