Visa att ett gränsvärde ej existerar calculus severeal..

Hej,

$\lim_{x^{2} + y^{2} \to \infty} x y e^{- (X + Y)^{2}}$

Jag vet hur man kan visa vad ett gränsvärde går emot, men ej hur jag ska visa att detta inte existerar!

Några inputs? Mitt försök skulle vara att faktiskt försöka beräkna gränsvärdet, men då fastnar jag. Så måste ju finnas någon annan bättre approach?

Det är ofta (som här) bra att byta till polära koordinater.

Annars finns den mer eller mindre uppenbara genvägen att titta längs linjerna

y = x

och

y = -x,

och jämföra resultaten.

Varför väljs y=-x och y=x i detta fall,? Ibland väljer man y=x och y=0 och ibland y=x och y=1 osv...

Hur vet man vad man ska välja?

I det här fallet väljs $y = -x$ så att exponenten blir $0$ , vilket ger uttrycket:

$-x^2\cdot e^0 = -x^2$

I det andra fallet med $y=x$ fås:

$x^2\cdot e^{-(2x)^2}$

Det första uttrycket går mot $-\infty$ och det andra mot $0$ , vilket innebär att gränsvärdet inte existerar.

Hej!

Anta att gränsvärdet existerar.

Sätt $x = 0.$ Då är funktionen konstant lika med noll, oavsett vad $y$ är. Gränsvärdet är då lika med noll.
Sätt $x+y = 0.$ Då är funktionen lika med $-x^2$ och detta växer obegränsat nedåt när $x$ växer. Men detta är omöjligt, eftersom gränsvärdet ju ska vara lika med noll.

Det var alltså fel att anta att gränsvärdet existerar.

Albiki

Svara

Visa senaste svar