Visa att en värdemängd är kontinuerlig för f(x,y)
Hej
Jag försöker förstå begreppet "Visa att...".
Exempelvis om jag har f(x,y)=1+sin(x+y) så vet jag att den är kontinuerlig i sin definitionsmängd för jag vet att sin är en kontinuerlig funktion så Df={(x,y)}.
Annat exempel f(x,y)= är Df={(x,y)|(x,y)(0,0)}.
Men vad innebär det att "Visa att Df är kontinuerlig"?
Egenskapen kontinuerlig är något som kan gälla funktioner - inte funktionernas definitionsmängd. En Definitionsmängd kan däremot vara SAMMANHÄNGANDE.
(Detta topologiska begrepp definieras genom sin motsats: En mängd M i ett topologiskt rum är OSAMMANHÄNGANDE om och endast om det finns en delmängd av M som kan skrivas som en union av två disjunkta öppna mängder.)
Det går således inte att visa att Df (definitionsmängden för f) är kontinuerlig. Däremot kan en given funktion, t ex de två som du nämner, vara KONTINUERLIG på hela sin Df.
Det går att visa att en funktion är kontinuerlig i hela sin funktionsmängd (ja, vissa funktioner, alltså), vilket är vad frågan handlar om (i alla fall som jag tolkade det). Tomten har rätt i att man inte kallar en definitionsmängd för kontinuerlig utan sammanhängande, men vad har detta med frågan att göra?
EDIT: Formuleringen i rubriken är alltså fel, och det är det som Tomten kommenterade
Ok så om man har två Df för en funktion på två olika platser i rummet och dessa inte sitter ihop någonstans så är den totala Df:en för funktionen osammanhängande.
Men jag förstår fortfarande inte hur man "VISAR ATT..." en given funktion är kontinuerlig på hela sin Df. Finns det något snillrikt matematiskt sätt med super partialderivator och fyrdubbla integreringar som VISAR ATT en given funktion är kontinuerlig på hela sin Df eller är det bara genom logiskt resonemang som man VISAR ATT en given funktion är kontinuerlig på hela sin Df?
Nej, det bygger på att man lär sig att vissa typer av funktioner är kontinuerliga (t ex räta linjer, sinusfunktioner, kvadratiska funktioner för att bara nämna några) är kontinuerliga, och att summor, produkter och sammansättningar av dessa funktioner också är kontinuerliga.
Redan i andra stycket i din fråga visar du prov på en bevisteknik: Var någonstans de elementära funktionerna (sin, cos .., exponentialfunktionerna, logaritmfknerna, polynom m fl) är kontinuerliga får anses redan bevisat, så det får man utnyttja.
Vi har också satser som säger att:
en sammansättning av kontinuerliga funktioner är kontinuerlig
en summa och/eller produkt av kontinuerliga funktioner är kontinuerlig.
Dessa får du utnyttja. (Du kan slå upp i dina läroböcker för bevisen för detta)
Funktioner behöver dock inte nödvändigtvis vara byggda på elementära funktioner eller vara sammansatta av kontinuerliga funktioner. Då måste du återgå till definitionen på kontinuitet. För funktioner från Rn till Rn kan du använda den s k epsilon-delta-definitionen, annars är den mest generella definitionen att inversa bilden av varje öppen mängd är öppen.
Tack för svar!
