Visa att en punkt är en maxpunkt men utan att dess omgivning är varken växande eller avtagande.

Det är ju en känd sats att extrempunkter i en inre punkt för kontinuerliga funktioner (vilket f är pga deriverbarhet) alltid ligger där derivatan är noll. Om du deriverar f får du ju två derivator, en som är konstant noll i x=0.

Så får du ju fram att det är en extrempunkt där i alla fall.

Man borde kunna visa att limsup f’(x) och liminf f’(x) blir olika då x->0. Alltså att alla närheter av noll kommer ha både punkter där derivatan är negativ och där derivatan är positiv. Då saknas ju intervall nära 0 där den är antingen eller.

naytte skrev:

Det är ju en känd sats att extrempunkter i en inre punkt för kontinuerliga funktioner (vilket f är pga deriverbarhet) alltid ligger där derivatan är noll. Om du deriverar f får du ju två derivator, en som är konstant noll i x=0.

Så får du ju fram att det är en extrempunkt där i alla fall.

Ja här är jag med:)

Man borde kunna visa att limsup f’(x) och liminf f’(x) blir olika då x->0. Alltså att alla närheter av noll kommer ha både punkter där derivatan är negativ och där derivatan är positiv. Då saknas ju intervall nära 0 där den är antingen eller.

Att använda sup och inf kan jag inte så du gärna visa hur du tänker. Ett enkelt sätt att det blir just max är att sin(1/x) antingen kommer ligga i [-1,1], parentesen blir således minst -4 och max -2 dvs alltid <0. Samma gäller för hela f eftersom x^2 alltid är positivt. 

För c) så kan man konstatera att funktionen är en komposition av deriverbara funktioner och därför deriverbar för alla x != 0. Det som behöver visas är

1) att f'(0) existerar, alltså att f(h)/h existerar då h går mot 0, och

2) att f'(x) inte är kontinuerlig i 0. En av termerna i f'(x) går mot 0 då x går mot 0, och en oscillerar mellan -1 och 1 allt snabbare och snabbare.

Man kan exempelvis hitta en följd x_n sådan att 1/x_n går mot 0 och cos(1/x_n) = 1 för alla tal i följden. Ser du hur man kan använda det för att konstatera att f'(x) inte är kontinuerlig?

På d), visa att f(x) < 0 för alla x != 0, och att det i varje intervall (-ε, 0) och (0, ε) finns x sådana att f'(x) < 0 respektive f(x) > 0.

När x är nära 0 så oscillerar en av termerna i derivatan mellan -1 och 1 medan den andra närmar sig 0.

Om vi väljer x = 1/(2πn) för något stort negativt heltal n sådant att x ligger i  (-ε, 0), så får vi att cos(1/x)=1. Vad blir då f'(x)? Kan vi välja x sådant att f'(x) < 0?

Gör på liknande sätt för (0, ε).

Jag tänker att vi har att $\displaystyle f'\left(0\right) = 0$ och sedan om vi tittar på den delen $f'\left(x\right) = -\cos(1/x) + 2 x (-3 + \sin(1/x))$ så har vi att då $x\to 0$ kommer $2 x (-3 + \sin(1/x)) \to 0$ medan $-\cos(1/x)$ kommer oscillera mellan -1 och 1. Så då $x\to 0$ kommer hela funktionen oscillera mellan -1 och 1. Så vi har då att:

$\liminf_{x\to 0}f'\left(x\right)=-1$

men

$\limsup_{x\to 0}f'\left(x\right)=1$

Detta betyder att derivatan i varje öppen närhet av $0$ har punkter där derivatan är positiv och punkter där derivatan är negativ. Således kan funktionen vara varken avtagande eller växande i någon sådan närhet.

Tillägg: 1 nov 2024 14:18

liminf och limsup är lite annorlunda objekt än inf och sup. T.ex. definierar man liminf som:

$\displaystyle \liminf_{x\to \xi} f\left(x\right):=\sup_{a>0}\inf f\left(\left(\xi-a,\xi+a\right)\setminus\{ \xi \}\right)$

där $\xi$ är en inre punkt i definitionsmängden $I\subseteq \mathbb{R}$ med $\left(\xi-a,\xi+a\right) \subseteq I$

Men den rigorösa definitionen är inte så viktig. Det är ju resonemanget som spelar roll. Insikten är att cosinus går crazy och oscillerar. Om du tycker det här verkar jobbigt (vilket jag också gör) borde du köra på Gustors förslag. Även om det inte borde vara så svårt att göra så här heller.

Gustor skrev:

För c) så kan man konstatera att funktionen är en komposition av deriverbara funktioner och därför deriverbar för alla x != 0. Det som behöver visas är

1) att f'(0) existerar, alltså att f(h)/h existerar då h går mot 0, och

2) att f'(x) inte är kontinuerlig i 0. En av termerna i f'(x) går mot 0 då x går mot 0, och en oscillerar mellan -1 och 1 allt snabbare och snabbare.

Man kan exempelvis hitta en följd x_n sådan att 1/x_n går mot 0 och cos(1/x_n) = 1 för alla tal i följden. Ser du hur man kan använda det för att konstatera att f'(x) inte är kontinuerlig?

Ja, eller man har när x går mot 0 så får man termer som går mot olika saker och sammantaget går det inte mot 0 som krävs för kontinuitet i 0, eller?

På d), visa att f(x) < 0 för alla x != 0, och att det i varje intervall (-ε, 0) och (0, ε) finns x sådana att f'(x) < 0 respektive f(x) > 0.

När x är nära 0 så oscillerar en av termerna i derivatan mellan -1 och 1 medan den andra närmar sig 0.

Om vi väljer x = 1/(2πn) för något stort negativt heltal n sådant att x ligger i  (-ε, 0), så får vi att cos(1/x)=1. Vad blir då f'(x)? Kan vi välja x sådant att f'(x) < 0?

Gör på liknande sätt för (0, ε).

Ska försöka på d) snart. 

Ja, eller man har när x går mot 0 så får man termer som går mot olika saker och sammantaget går det inte mot 0 som krävs för kontinuitet i 0, eller?

Ja, eftersom en av termerna går mot 0 och den andra oscillerar, så oscillerar hela uttrycket. Så lite informellt kan man säga att f'(x) inte går mot f'(0)=0 då x går mot 0.

Vill man visa det matematiskt kan man göra som jag beskrev.

Bara för att visa att man kan använda definitionen ovan:

Låt $g$ definieras av $g\left(x\right) = -\cos\frac{1}{x}$. Det följer att $g: \mathbb{R}\setminus \{0\} \to \mathbb{R}$.

Vi har två definitioner:

$\displaystyle \liminf_{x\to \xi} g\left(x\right):=\sup_{a>0}\inf g\left(\left(\xi-a,\xi+a\right)\setminus\{ \xi \}\right)\;\; \left(1\right)$

$\displaystyle \limsup_{x\to \xi} g\left(x\right):=\inf_{a>0}\sup g\left(\left(\xi-a,\xi+a\right)\setminus\{ \xi \}\right)\;\; \left(2\right)$

där $\displaystyle \left(\xi-a, \xi+a\right)\subseteq \mathbb{R}\setminus \{0\}$ och där $g\left(\left(\xi-a, \xi+a\right)\right)$ är bildmängden av intervallet.

Analogt till ensidiga gränsvärden finns det även ensidiga limsup och liminf, exempelvis:

$\displaystyle \liminf_{x\to 0^+}g\left(x\right)=\sup_{a>0}\inf\{ -\cos\frac{1}{x}:x\in\left(0,a\right)\}$

Det är självklart att om över alla a > 0 så kommer supremet vara -1 (förstår du varför?). Om vi gör samma sak men för limsup:

$\displaystyle \limsup_{x\to 0^+}g\left(x\right)=\inf_{a>0}\sup\{ -\cos\frac{1}{x}:x\in\left(0,a\right)\}$

Här har vi att supremet över alla a>0 blir 1. Så sammantaget har vi:

$\displaystyle \liminf_{x\to 0^+} g\left(x\right) = -1$

$\displaystyle \limsup_{x\to 0^+} g\left(x\right) = 1$

Detta betyder att oavsett vilket intervall $(0,a)$ runt $x=\xi$ som väljs, så kommer det finnas punkter där $g\left(x\right) > 0$ och punkter där $g\left(x\right) < 0$. Detta betyder att funktionen där varken kan vara avtagande eller växande. Man kan upprepa samma resonemang från vänster och erhåller då samma resultat.

$\blacksquare$

Jag förstår inte din dubbelnotation inf sup och tvärtom. 

$\sup_{a>0}\inf A_a$ är bara ett sätt att säga "Supremet av infimumen av mängderna A_a​ , där a varierar över alla positiva tal". 

Det är alltså supremet av infimumen, inte någon sammansättning "supinf".

Okej, gracias.