Visa att en linje är parallell med en plan

Linjen är som sagt parallell med planet

Rita planet (ett tjockt horisontellt streck duger om konstnärligheten tryter) och en parallell linje en bit ovanför planet.

Markera en valfri punkt på planet och en valfri punkt på linjen. Kalla punkterna något, t.ex. $P$ och $Q$. Dra en vektor mellan dem.

Kan du också markera planets normalvektor, kanske så att det blir en rätvinklig triangel? Normalen ska ju vara vinkelrät mot både planet och linjen. Ger det dig några geometriska eller vektoriella idéer baserat på vad ni lärt er hittills?

D4NIEL skrev:

Linjen är som sagt parallell med planet

Rita planet (ett tjockt horisontellt streck duger om konstnärligheten tryter) och en parallell linje en bit ovanför planet.

Markera en valfri punkt på planet och en valfri punkt på linjen. Kalla punkterna något, t.ex. $P$ och $Q$. Dra en vektor mellan dem.

Kan du också markera planets normalvektor, kanske så att det blir en rätvinklig triangel? Normalen ska ju vara vinkelrät mot både planet och linjen. Ger det dig några geometriska eller vektoriella idéer baserat på vad ni lärt er hittills?

I denna ritning representerar den nedre horisontella linjen planeten, och linjen ovanför representerar ”parallella linjen”. Punkten P är en punkt på planeten, och punkten Q är en punkt på linjen. Normalvektorn $\vec{n}$ skulle vara en vektor som pekar uppåt och som är vinkelrät mot planeten, den ritade jag med ett gult streck. Vektorn mellan P och Q ritade jag med ett rött streckad linje.

Observera att denna ritningen gjordes på min iPhone och att det inte är perfekt.  

Tycker det blev jättebra. Nu kan du ta en punkt i planet, vilken punkt du vill, bara den uppfyller planets ekvation. En punkt som verkar lätt är t.ex. $P=(0,1,1)$

Den uppfyller planets ekvation eftersom $2y-z=1$ ty $2\cdot 1-1=1$

Försök också hitta en punkt $Q$ på linjen, vilken som helst. Sedan bildar du vektorn $\vec{QP}$

Märk också ut vinkeln mellan normalvektorn och vektorn $\vec{QP}$. Kanske kan du använda skalärprodukten mellan vektorerna till något?

Andra möjliga vägar är kryssprodukt, projektion eller vanlig gymnasiegeometri, Du har ju en rätvinklig triangel.

Du kan också försöka hitta en punkt direkt "under" linjen,

EDIT: vi tar bort onödigt komplicerade spetsfundigheter av pedagogiska skäl.

D4NIEL skrev:

Tycker det blev jättebra. Nu kan du ta en punkt i planet, vilken punkt du vill, bara den uppfyller planets ekvation. En punkt som verkar lätt är t.ex. $P=(0,1,1)$

Den uppfyller planets ekvation eftersom $2y-z=1$ ty $2\cdot 1-1=1$

Försök också hitta en punkt $Q$ på linjen, vilken som helst. Sedan bildar du vektorn $\vec{QP}$

Varför vill man hitta två nya punkter och rita en till vektor, kunde man inte behålla de som jag markerade på min ritning? Kan samma P vara (0, 1, 1) t.ex.? Blir svårt att föreställa sig vart en punkt kan vara när man jobbar med tre dimensioner.

Märk också ut vinkeln mellan normalvektorn och vektorn $\vec{QP}$. Kanske kan du använda skalärprodukten mellan vektorerna till något?

Vill vi alltså räkna ut $\arccos \left( \frac{a\cdot b}{\left| a\right| \left| b\right| } \right) =\theta$?

Andra möjliga vägar är kryssprodukt,

Så vill få upphov till en ny tredimensionell vektor (a × b) med egen längd och riktning, där riktningen är vinkelrät mot det plan som spänns upp av de två vektorerna a och b?

projektion

Alltså en  ortogonalprojektion? För att bestämma en uppdelning av en vektor v i en del som ligger i ett underrum, och den del som är ortogonal mot underrummet, där den senare är det vi är intresserade av?

eller vanlig gymnasiegeometri

och

Du kan också försöka hitta en punkt direkt "under" linjen,

inte säker på vad du syftar på här.

Dani163 skrev:

Varför vill man hitta två nya punkter och rita en till vektor, kunde man inte behålla de som jag markerade på min ritning? Kan samma P vara (0, 1, 1) t.ex.? Blir svårt att föreställa sig vart en punkt kan vara när man jobbar med tre dimensioner.

Du kan behålla punkterna du markerat, men du måste låta punkterna anta några värden för att konkret kunna bilda vektorn $\vec{QP}=Q-P$. Det viktiga är att en av punkterna ligger i planet och en på linjen.

När du vet hur lång hypotenusan $|\vec{QP}|$ är och kanske även känner till vinkeln $\theta$ (som ju är vinkeln mellan normalen och $\vec{QP}$) kan du med enkel geometri bestämma närliggande katet $d$:

Det är avståndet $d$ man söker i frågan. Och enligt figuren är $d=|\vec{QP}|\cos(\theta)$

Tips: notera att uttrycket $|\vec{QP}|\cos(\theta)$ eventuellt kan tänkas dyka upp i skalärprodukten $\vec{QP}\cdot \vec{n}$

Om ni lärt er projektionsformeln kan du projicera vektorn $\vec{QP}$ på normalen direkt, absolutbeloppet blir naturligtvis $d$ då också.

D4NIEL skrev:

Dani163 skrev:

Varför vill man hitta två nya punkter och rita en till vektor, kunde man inte behålla de som jag markerade på min ritning? Kan samma P vara (0, 1, 1) t.ex.? Blir svårt att föreställa sig vart en punkt kan vara när man jobbar med tre dimensioner.

Du kan behålla punkterna du markerat, men du måste låta punkterna anta några värden för att konkret kunna bilda vektorn $\vec{QP}=Q-P$. Det viktiga är att en av punkterna ligger i planet och en på linjen.

När du vet hur lång hypotenusan $|\vec{QP}|$ är och kanske även känner till vinkeln $\theta$ (som ju är vinkeln mellan normalen och $\vec{QP}$) kan du med enkel geometri bestämma närliggande katet $d$:

Det är avståndet $d$ man söker i frågan. Och enligt figuren är $d=|\vec{QP}|\cos(\theta)$

Tips: notera att uttrycket $|\vec{QP}|\cos(\theta)$ eventuellt kan tänkas dyka upp i skalärprodukten $\vec{QP}\cdot \vec{n}$

---

Om ni lärt er projektionsformeln kan du projicera vektorn $\vec{QP}$ på normalen direkt, absolutbeloppet blir naturligtvis $d$ då också.

 

Svarade fel. Ska skriva en ny kommentar.

Jag ser nu att jag i hastigheten skrev $\vec{QP}=Q-P$ men det ska såklart vara $P-Q$, inte för att det spelar någon roll åt vilket håll vektorn är riktad eftersom vi alltid anser att $d$ är ett absolutbelopp.

$d=|\frac{\vec{QP}\cdot \vec{n}}{\|\vec{n}\|}|=\frac{8}{\sqrt{5}}$