1 svar
163 visningar
Andreas Wartel 64
Postad: 11 apr 2022 19:50 Redigerad: 11 apr 2022 19:55

Visa att en konvex n-hörning har n(n3)/2 diagonaler.

Hej! Jag undrar om jag tänkt rätt här:

 

Visa att en konvex nn-hörning har n(n-3)/2n(n-3)/2 diagonaler.

 


Jag vill genom induktion visa att n(n-3)2(n+1)((n+1)-3)2\frac{n(n-3)}{2}\Rightarrow \frac{(n+1)((n+1)-3)}{2} för alla n3n \geq 3, nn \in \mathbb{Z} . Formeln stämmer överens med att antalet diagonaler i en 4-hörning är

 


4(4-3)2=2\frac{4(4-3)}{2}=2

 


och vi får på så sätt ett basfall.

 


Vi behöver nu visa att då vi utgår ifrån att formeln gäller för något kk,  k(k-3)2\frac{k(k-3)}{2}, också gäller för k+1k+1, (k+1)((k+1)-3)2\frac{(k+1)((k+1)-3)}{2}.

 


I en kk-hörning kan vi enligt induktionsantagandet dra k(k-3)2\frac{k(k-3)}{2} diagonaler. Lägger vi till ett hörn, k+1k+1, kan vi från detta dra k-2k-2 diagonaler (med andra ord till alla hörn utom de två bredvid). Dessutom kan det dras en diagonal från det första hörnet till hörn nummer kk. Vi får då att antalet diagonaler i en (k+1)(k+1)-hörning är

 


 k(k-3)2+(k-2)+1\frac{k(k-3)}{2}+(k-2)+1

 

 som kan skrivas som 

 

 k(k-3)2+2k-42+22\frac{k(k-3)}{2}+\frac{2k-4}{2}+\frac{2}{2}

 k2-3k+2k-22\frac{k^2-3k+2k-2}{2}

 k2-k-22.\frac{k^2-k-2}{2}.

 

 Vi kan då visa att om

 

 VL=k2-k-22VL=\frac{k^2-k-2}{2}

 

så är 

 

  VL=k2-k-22=VL=\frac{k^2-k-2}{2}=

  k2-2k+k-22=\frac{k^2-2k+k-2}{2}=

  (k+1)(k-2)2=\frac{(k+1)(k-2)}{2}=

  (k+1)((k+1)-3)2=HL\frac{(k+1)((k+1)-3)}{2}=HL

 

Enligt induktionsprincipen innebär det att  n(n-3)2\frac{n(n-3)}{2} gäller för alla n3n \geq 3, nn \in \mathbb{Z}

Trinity2 1880
Postad: 11 apr 2022 21:36

Ser OK ut.

Svara
Close