Visa att en konvex n-hörning har n(n3)/2 diagonaler.
Hej! Jag undrar om jag tänkt rätt här:
Visa att en konvex n-hörning har n(n-3)/2 diagonaler.
Jag vill genom induktion visa att n(n-3)2⇒(n+1)((n+1)-3)2 för alla n≥3, n∈ℤ. Formeln stämmer överens med att antalet diagonaler i en 4-hörning är
4(4-3)2=2
och vi får på så sätt ett basfall.
Vi behöver nu visa att då vi utgår ifrån att formeln gäller för något k, k(k-3)2, också gäller för k+1, (k+1)((k+1)-3)2.
I en k-hörning kan vi enligt induktionsantagandet dra k(k-3)2 diagonaler. Lägger vi till ett hörn, k+1, kan vi från detta dra k-2 diagonaler (med andra ord till alla hörn utom de två bredvid). Dessutom kan det dras en diagonal från det första hörnet till hörn nummer k. Vi får då att antalet diagonaler i en (k+1)-hörning är
k(k-3)2+(k-2)+1
som kan skrivas som
k(k-3)2+2k-42+22
k2-3k+2k-22
k2-k-22.
Vi kan då visa att om
VL=k2-k-22
så är
VL=k2-k-22=
k2-2k+k-22=
(k+1)(k-2)2=
(k+1)((k+1)-3)2=HL
Enligt induktionsprincipen innebär det att n(n-3)2 gäller för alla n≥3, n∈ℤ.
Ser OK ut.