Visa att en funktion av klass C1 är differentierbar

Du ska bevisa den sats som du tillämpar: om en funktion tillhör mängden $C^1$ så är den differentierbar.

Det felaktiga resonemang som du för i ditt inlägg kallas cirkelbevis: man använder sats A för att bevisa sats A.

Fundera på vad som skiljer begreppen partiell deriverbarhet och differentierbarhet. När du väl har insett skillnaden kommer du att kunna skissa ett bevis för satsen som söks.

Albiki skrev:

Fundera på vad som skiljer begreppen partiell deriverbarhet och differentierbarhet. När du väl har insett skillnaden kommer du att kunna skissa ett bevis för satsen som söks.

Den enda likheten jag kan se mellan dem två definitionerna är att täljaren i definitionen för partiell derivata liknar vänsterledet i definitionen för differentierbarhet. Men i vänsterledet för differentierbarhet så finns det en variabel 'k' som inte finns i täljaren av definitionen av partiell derivata.

Alltså "f(a+h, b)-f(a,b)" jämfört med "f(a+h, b+k)-f(a,b)". Men jag vet inte riktigt hur jag ska använda detta för att föra ett bevis. Var ska jag börja? Är jag ens på rätt spår?

Sedan utför du beviset i två variabler men det står att det ska vara flera varibler.

Och vad är det du beräknar med differensen $f(a+h,b)-f(a,b)$ jämförd med differensen $f(a+h,b+k)-f(a,b)$?

Att $f$ är partiellt deriverbar i punkten $(a,b)$ betyder att det finns två funktioner $r_b$ och $r_a$ sådana att 

    $f(a+h,b)-f(a,b) = f'_x(a,b)h + r_b(h)$ och $f(a,b+k)-f(a,b)=f'_y(a,b)k + r_a(k)$

och

    $\lim_{h\to0}\frac{|r_b(h)|}{h}=0$ och $\lim_{k\to0}\frac{|r_a(k)|}{k} =0.$