Visa att en funktion är holomorf på enhetscirkeln.

Hej pluggakuten. Jag har suttit med en uppgift i ungefär en vecka nu. Har nog stirrat mig blind på den. Jag ska:

Visa att $\int_{|z| = 1} f (z) d z = 0, d ä r f (z) = \frac{1}{\sin^{2} z}$

Jag har en lösning, tror jag. Men den känns så klumpig och omständlig att det måste finnas ett annat sätt.
Här är min lösning:

$\sin z = \frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i}, \sin^{2} z = {(\frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i})}^{2} = \frac{e^{2 i z} - 2 e^{i z} e^{- i z} + e^{- 2 i z}}{- 4} \frac{e^{2 i z} - 2 + e^{- 2 i z}}{- 4} \int_{|z| = 1} f (z) d z = \int_{|z| = 1} \frac{- 4}{e^{2 i z} - 2 + e^{- 2 i z}} d z$

sen parametriserar jag kurvan...

$f (z) = \frac{- 4}{e^{2 i z} - 2 + e^{- 2 i z}}, z (t) = e^{i t}, z' (t) = i e^{i t} d t, 0 \leq t \leq 2 π \int_{|z| = 1} \frac{- 4}{e^{2 i z} - 2 + e^{- 2 i z}} d z = \int_{0}^{2 π} \frac{- 4 i e^{i t}}{e^{2 i t} - 2 + e^{- 2 i t}} d t = - 4 i \int_{0}^{2 π} \frac{i e^{i t}}{e^{2 i t} - 2 + e^{- 2 i t}} d t - 4 i (\int_{0}^{π} \frac{e^{i t}}{e^{2 i t} - 2 + e^{- 2 i t}} d t + \int_{π}^{2 π} \frac{e^{i t}}{e^{2 i t} - 2 + e^{- 2 i t}} d t)$

sen utför jag ett variabel byte och jobbar med den högra integralen...
$u = t - π, då t \to 2 π, u \to π du = dt, då t \to π, u \to 0 \int_{π}^{2 π} \frac{e^{it}}{e^{2 it} - 2 + e^{- 2 it}} dt = \int_{0}^{π} \frac{e^{iu} e^{iπ}}{e^{2 e^{iu} e^{iπ}} - 2 + e^{- 2 e^{iu} e^{iπ}}} du = - \int_{0}^{π} \frac{e^{iu}}{e^{2 e^{iu}} - 2 + e^{- 2 e^{iu}}} du i sista steget ersätter jag e^{iπ} med - 1 - \int_{0}^{π} \frac{e^{iu}}{e^{2 e^{iu}} - 2 + e^{- 2 e^{iu}}} du = \int_{π}^{0} \frac{e^{iu}}{e^{2 e^{iu}} - 2 + e^{- 2 e^{iu}}} du = \int_{2 π}^{π} \frac{e^{it} e^{- iπ}}{e^{2 e^{it} e^{- iπ}} - 2 + e^{- 2 e^{it} e -^{iπ}}} dt ersätter e^{- iπ} med - 1 \int_{2 π}^{π} \frac{- e^{it}}{e^{2 e^{it}} - 2 + e^{- 2 e^{it}}} dt = \int_{π}^{2 π} \frac{e^{it}}{e^{2 e^{it}} - 2 + e^{- 2 e^{it}}} dt = - \int_{0}^{π} \frac{e^{it}}{e^{2 e^{it}} - 2 + e^{- 2 e^{it}}} dt$

Sen stoppar jag in denna integralterm i ursprungsuttrycket:
$- 4 i (\int_{0}^{π} \frac{e^{i t}}{e^{2 i t} - 2 + e^{- 2 i t}} d t - \int_{0}^{π} \frac{e^{i t}}{e^{2 i t} - 2 + e^{- 2 i t}} d t) = 0$

Ja, det känns omständligt och jag vet inte om det är rätt.

Jag skulle uppskatta väldigt mycket om någon såg över det hela(vet att det är mycket). Kanske kom med et förslag på en bättre lösning!

Tack och trevlig helg!

1. Holomorfi är något som bara kan finnas på öppna mängder, jag har åtminstone aldrig sett något annat. Enhetscirkeln är inte en öppen mängd i planet. Kan man mena enhetsskivan? Nej, f har ju en singularitet i origo (troligen väsentlig). Då är f inte holomorf där. Är du säker på att det är den givna funktionen som påståendet gäller?

Titeln är fel. Det är inte att jag ska visa att funktionen är holomorf eller på enhetscirkeln. Jag var lite trött i huvudet när jag skrev det jag ber om ursäkt för detta. Tyvärr finns det ingen möjlighet att redigera inlägget eller titeln.

Det jag ska visa är: $\int_{|z| = 1} f (z) d z = 0 d ä r f (z) = \frac{1}{\sin^{2} z}$

och det jag undrar är.

1. Har jag gjort rätt? Det finns inget facit eller lösningsförslag att kontrollera mot.
2. Finns det en enklare lösning? Min lösning känns onödigt klumpig.

Aedrha skrev:
Titeln är fel. Det är inte att jag ska visa att funktionen är holomorf eller på enhetscirkeln. Jag var lite trött i huvudet när jag skrev det jag ber om ursäkt för detta. Tyvärr finns det ingen möjlighet att redigera inlägget eller titeln.

Det jag ska visa är: $\int_{|z| = 1} f (z) d z = 0 d ä r f (z) = \frac{1}{\sin^{2} z}$

och det jag undrar är.

1. Har jag gjort rätt? Det finns inget facit eller lösningsförslag att kontrollera mot.
2. Finns det en enklare lösning? Min lösning känns onödigt klumpig.

Är du bekant med residysatsen?

Trött uppe på loftet kan vi bli lite till mans. Inget konstigt med det. Du kanske undrar om det jag skrev innebär att integralen inte KAN bli 0? Det kan den. Det är bara om Varje ”glatt” sluten kurva ger integral =0 som f är holo. Se Moreras sats. Förslaget från Davitk rekommenderas.

@ Davtik nej jag är inte bekant med residysatsen.

Svara

Visa senaste svar