Visa att en funktion är bijektiv (eller snarare surjektiv)

Jag förstår hur jag ska visa om den är injektiv eller inte:

Om funktionen är injektiv så gäller: f(n1) = f(n2) <--> n1 = n2.

Om båda är jämna, då stämmer det.
Om båda är udda, då stämmer det.

Men om vi har en jämn och en udda, då får vi det till att n1 + n2 = 1. Detta är omöjligt ty n1 och n2 är naturliga tal.

Detta bevisar att funktionen är injektiv.

Denna del av uppgiften förstår jag.

Det jag inte förstår är lösningen för hur man kollar om den är surjektiv eller inte:

a > 0 i Z:
f(2a) = 2a/2 = a och 2a hör till N

a <= 0 i Z
f(-2a+1) = -(-2a+1-1)/2 = a

-2a+1 hör till N ty a <= 0 <-> 1 - 2a >= 1

Därför är den surjektiv.

Jag förstår inte riktigt. Jag fattar att man skriver 2a för att man vill att det ska bli ett jämnt tal där.
Det jag skulle behöva hjälp med är om någon i ord kan förklara själva strategin för hur man ska göra här.

För jag förstår ju själva strategin vad gäller injektiva. Och därmed kan jag förstå beräkningarna.

Tusen tack för all hjälp!