Visa att ekvationen saknar heltalslösningar.

Att ett tal är jämnt eller udda beror på om det innehåller faktorn 2 eller inte. Så varför inte undersöka vänsterledets faktorer! Kan du faktorisera VL?

VL kan ju faktoriseras som x ( x² - 1 )

så x ( x² - 1 ) = k

Ja, men den kan faktoriseras ännu längre. $x^2-1$ är en skillnad mellan två kvadrater, och såna uttryck finns det en regel för.

Tänker såhär:

x ( x + 1 ) ( x - 1 ) = k

Jag tänker samma =)

De tre faktorerna är ju ganska lika nu: x, x+1 och x-1. Om x är ett heltal är detta tre intilliggande heltal. Ser du vad det innebär? Vi undrar alltså om den produkten kan vara udda.

Hur många jämna tal kan det finnas i vänsterledet?

Usch vad detta inte är min grej. Alltså om x är heltal, t ex 3(3+1)(3-1) = 24. Testar jag andra så blir det inte ett udda tal. Men känns som det måste gå att uttrycka på nått bättre sätt?

Knepet är att eftersom vi multiplicerar ihop de tre talen, så kommer produkten innehålla faktorerna från alla tre talen. Så om något av talen innehåller faktorn 2, kommer även produkten göra det (och därmed vara jämn)!

Så då blir frågan, kan vi bilda produkten x(x-1)(x+1) av bara udda tal?

Det kan max vara två jämna tal i VL. Om vi har x som ett udda så blir både x+1 och x-1 jämna tal. 

Om x är udda, kommer VL att innehålla ett udda och två jämna tal. Produkten av dessa tre tal är jämn.

Om x är jämnt kommer VL att innehålla ett jämnt och två udda tal. Produkten av dessa tre tal är jämn.

Hur går detta ihop med att HL är ett udda tal?

Då tänker jag att eftersom det alltid kommer vara minst ett jämnt tal i VL, så blir alltid svaret jämnt i HL. Ett av talen kommer ju då alltid ha faktorn 2. Därmed saknar ekvationen heltalslösningar ifall HL är udda.