Visa att ekvationen p(x) = 0 har en rationell rot
Låt p(x)=5x^3+11x^2-3x-1. Visa att ekvationen p(x) = 0 har en rationell rot Möjliga värden på q är därför ±1,±5 och möjliga värden på p är ±1. Detta ger ±1, ±5 och ±1/5 som möjliga lösningar. Nu kan jag verifiera om p(x) = 0 har en rationell rot genom insättning. Insättning ger: p (1) =5*1^3+11*1^2-3*1–1=12 p (-1) =5*(-1) ^3+11*(-1) ^2-3*(-1) –1=8 p (5) =5*5^3+11*5^2-3*5–1=884 p (-5) =5*(-5)^3+11*(-5) ^2-3*(-5) –1=-336 p (1/5) =5*(1/5)^3+11*(1/5) ^2-3*(1/5) –1=-28/25 p (-1/5) =5*(-1/5)^3+11*(-1/5) ^2-3*(-1/5) –1=0 Alltså är -1/5 den enda rationella roten till polynomet p(x).
Men fick detta kommentar av läraren "a) Du får rätt rot, men är ±5±5 verkligen en möjligt rot enligt sats 7?"
varför kan inte ±5 vara rött? då möjliga värden på q är ±1,±5.
Någon som kan förklara ?
Jag kom på vad läraren menade,
Du ger ingen helhetsbild så jag kan bara försöka besvara din direkta fråga.
Du visar ju själv att +-5 inte är nollställen till p. Din lärare verkar rikta kritik för att du inte just genom en ”sats 7” avfärdat dessa värden som nollställen. Det framgår inte om det var sagt i uppgiften att denna sats skulle användas.
Vet inte vad du menar med q och p, men om jag helt enkelt skulle visa att funktionen har ett rationellt nollställe är att utnyttja vetskapen att en rot är -1/5 (vilket du visat ovan). Du kan då dividera funktionen p(x) med faktorn (1 + 1/5) och får då
Funktionen kan då delas upp i två faktorer:
Den senare kan du lösa som en andragradsekvation och får då rötterna
vilka inte är rationella tal.
