visa att ekvationen har exakt en lösning (envariabelanalys)

finns inget facit så vill veta om jag har tänkt/räknat rätt men för räknade på detta sätt på en annan likande uppgift och fick 0 poäng

1. flyttar över allt till VL och sätter f(x) = VL

2. deriverar

3. ser att derivatan > 0 för alla värden i angivet intervall => f är strängt växande i intervallet

4. kollar ändpunkterna f(1) som ger < 0 och f(2) som ger > 0

5. då f är kontinuerlig ger satsen om mellanliggandevärden att f kommer anta alla värden mellan f(1) och f(2)

6. eftersom f är strängt växande kommer vi endast få en lösning i intervallet dvs f(x) = 0 en gång då

har jag missat något eller är något fel för att få full pott på denna fråga om den kommer på ett prov?

edit: jag kom precis på att jag kanske måste visa att f inte antar f(x) = 0 i något annat intervall?

Hej,

Det ser bra ut.

Ja, du bör visa att utanför intervallet $[1,2]$ finns det inga lösningar till ekvationen $f(x)=0$ .

Albiki skrev:
Hej,

Det ser bra ut.

Ja, du bör visa att utanför intervallet $[1,2]$ finns det inga lösningar till ekvationen $f(x)=0$ .

okej men det går väl enklast att visa genom att visa att f'(x) är positiv för alla x eller att f'(x) saknar några nollställen eller bör man göra på något annat sätt? gränsvärden behövs ej tänker jag om man visar med derivatan > 0 men vill inte riskera å missa något igen

Du vet att $f(1) < 0$ så om du kan visa att $f$ är strängt växande på $(-\infty,1)$ så vet du att $f(x) = 0$ saknar lösning på intervallet $(-\infty,1)$ .
Du vet att $f(2) > 0$ så om du kan visa att $f$ är strängt växande på $(2,\infty)$ så vet du att $f(x) = 0$ saknar lösning på intervallet $(2,\infty)$ .

Albiki skrev:

Du vet att $f(1) < 0$ så om du kan visa att $f$ är strängt växande på $(-\infty,1)$ så vet du att $f(x) = 0$ saknar lösning på intervallet $(-\infty,1)$ .

Du vet att $f(2) > 0$ så om du kan visa att $f$ är strängt växande på $(2,\infty)$ så vet du att $f(x) = 0$ saknar lösning på intervallet $(2,\infty)$ .

okej men det kan jag väl visa med derivatan? för om den är positiv i båda dessa fall så har jag väl visat det? eller vad missar jag?

Svara

Visa senaste svar