Visa att ekvation har tre realla rötter utan att använda derivata

Du bör nog istället använda Bolzano-Weierstrass sats.

Eftersom de pratar om intervall av längd 1/2 antar jag att du kan prova dig fram. Ta x=1, x=0, etc. och mellanpunkter när det verkar ge något. 

Albiki skrev:

Du bör nog istället använda Bolzano-Weierstrass sats.

 Har aldrig hört talas om denna sats förut så jag tror inte att det är detta min lärare är ute efter, men jag kollade upp satsen och den verkar handla om talföljder. Har svårt att förstå vad talföljder har att göra med min uppgift. (???)

EDIT: Whoops! Bolzano har en annan sats som handlar om mellanliggande funktionsvärden. Tror jag kollade på fel sats. Förlåt! :D

Om du hittar några punkter som ligger ovanför respektive över y=0 kan du använda satsen om mellanliggande värden.

Laguna skrev:

Eftersom de pratar om intervall av längd 1/2 antar jag att du kan prova dig fram. Ta x=1, x=0, etc. och mellanpunkter när det verkar ge något. 

 Tror knappast att jag kan gissa mig fram med heltal eftersom Wolfram Alpha säger att rötterna inte är heltal eller bråktal:

... eller menar du att jag prövar heltal x och om jag hittar två x kring noll (f(x)=0) så kan jag anta att en rot ligger inom detta intervall (mellan $x_1$ och $x_2$)? Har jag förstått rätt?

Du behöver ju inte hitta själva rötterna. Ja, som du skriver på slutet. 

Laguna skrev:

Du behöver ju inte hitta själva rötterna. Ja, som du skriver på slutet. 

 Vad är dock rimliga värden för ändpunkterna  ($x_1, f\left(x_1\right)$) och ($x_2, f\left(x_2\right)$) (där $f\left(x_1\right)<0$ och $f\left(x_2\right)>0$)? Det måste väl finnas en chans att ett valt intervall innehåller fler än en rot (om intervallet av x är tillräckligt stort)?

Nide skrev:

Laguna skrev:

Du behöver ju inte hitta själva rötterna. Ja, som du skriver på slutet. 

 Vad är dock rimliga värden för ändpunkterna  ($x_1, f\left(x_1\right)$) och ($x_2, f\left(x_2\right)$) (där $f\left(x_1\right)<0$ och $f\left(x_2\right)>0$)? Det måste väl finnas en chans att ett valt intervall innehåller fler än en rot (om intervallet av x är tillräckligt stort)?

Du kan rita upp funktionen lite lätt för att få en uppfattning. 

Man kan ju genom att bara titta på funktionen se att om x-värdena är tillräckligt "långt åt vänster" så är funktionsvärdet negativt, och om x-värdet är tillräckligt stora är funktionsvärdet positivt.

Beräkna funktionsvärdena för x=-2, x=-1,5, x=-1... x=1. Det räcker att ta reda på om de är positiva eller negativa. Jag fuskade och ritade med WolframAlpha, och det visar sig att funktionens tecken i de olika punkterna är -+++--+. Alltså finns det (enligt satsen om mellanliggande värden) en rot som ligger i intervallet mellan -2 och-1,5, en som ligger mellan -0,5 och 0 och en som ligger mellan 1,5 och 2. Alla dessa intervall är tilllräckligt små för att uppfylla villkoren i uppgiften.

Smaragdalena skrev:

Man kan ju genom att bara titta på funktionen se att om x-värdena är tillräckligt "långt åt vänster" så är funktionsvärdet negativt, och om x-värdet är tillräckligt stora är funktionsvärdet positivt.

Beräkna funktionsvärdena för x=-2, x=-1,5, x=-1... x=1. Det räcker att ta reda på om de är positiva eller negativa. Jag fuskade och ritade med WolframAlpha, och det visar sig att funktionens tecken i de olika punkterna är -+++--+. Alltså finns det (enligt satsen om mellanliggande värden) en rot som ligger i intervallet mellan -2 och-1,5, en som ligger mellan -0,5 och 0 och en som ligger mellan 1,5 och 2. Alla dessa intervall är tilllräckligt små för att uppfylla villkoren i uppgiften.

 Japp detta var precis vad jag gjorde i slutändan. Tack för hjälpen. :)