Visa att e^x*e^y=e^x+y

Är uppgiften att du skall visa det för alla heltal $x$ och $y$, alla reella tal $x$ och $y$ eller något annat?

Hur som helst duger det inte med att ta upp två exempel för att visa påståendet. Om du bara visar två exempel kan det ju finnas andra tal för vilka påståendet inte stämmer. Du måste leta efter en mer generell metod, men exakt vilka metoder som är möjliga att använda beror på vilken typ av tal påståendet skall gälla för.

Det behöver skrivas e^(x+y) för att det ska stämma. 

Till moderator: Jag tror att uppgiften är alltför avancerad för Matematik 3-nivå. 

Talet $\ln x$ definieras som integralen

    $\displaystyle\ln x = \int_1^{x}\frac{1}{t}\,dt \ , \quad x>0$

och likheten $e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}$ är samma sak som likheten $\ln (x\cdot y) = \ln x + \ln y.$ (Varför?)

Det gäller alltså att visa

    $\displaystyle\int_{1}^{xy}\frac{1}{t}\,dt = \int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt+\int_{1}^{y}\frac{1}{t}\,dt.$

Anta att $x>1$ och $y>1$. Då är $1<x<xy$ och man kan skriva

    $\displaystyle\int_{1}^{xy}=\int_{1}^{x}+\int_{x}^{xy}.$

Ett variabelbyte ($u=t/x$) i den andra integralen ger

    $\displaystyle\int_{t=x}^{xy}=\int_{u=1}^{y}$

och beviset är klart för detta fall.

Tack för svaret Albiki! Nu förstår jag

Till Albiki: Potenslagarna lär man sig redan i Ma1, men eftersom man inte lär sig talet e förrän i Ma3 är detta en lämplig nivå. Om det hade stått i uppgiften att man inte får använda sig av potenslagarna, skulle jag se en anledning till ditt matematiskt höstående resonemang.

Smaragdalena skrev:

Till Albiki: Potenslagarna lär man sig redan i Ma1, men eftersom man inte lär sig talet e förrän i Ma3 är detta en lämplig nivå. Om det hade stått i uppgiften att man inte får använda sig av potenslagarna, skulle jag se en anledning till ditt matematiskt höstående resonemang.

Men om man får använda potenslagarna så säger uppgiften att man ska använda potenslagarna för att visa potenslagarna.

Då är i alla fall uppgiften dåligt formulerad.

Smaragdalena skrev:

Då är i alla fall uppgiften dåligt formulerad.

Så dåligt formulerad är den väl inte: Visa att $e^x\cdot e^y = e^{x+y}.$ Vad är det du saknar, förutom det som redan nämnts om för vilka x och y likheten avses? 

Om man inte skulle få använda sig av potenslagarna, så borde det stå i uppgiften.

Smaragdalena skrev:

Om man inte skulle få använda sig av potenslagarna, så borde det stå i uppgiften.

Om du då får uppgiften:

"Visa att i en rätvinklig triangel gäller sambandet $a^2+b^2=c^2$ för katetrarna $a$ och $b$ och hypotenusan $c$."

Skulle man då få använda Pythagoras sats? Tveksamt..

Universitetsmatte är det ändå men alla bevis handlar om att man utgår från någon "mer funamental" idé och sedan visar att det man tror är sant följer av denna mer fundamentala idé. Beviset i det här fallet vilar på hur man väljer att definiera exponentialfunktionen eller vilka normer man har i sammanhanget för vad som är ett bevis. Normerna kan vara olika i ett rum med 15:åringar och ett rum med doktorander. 

Det sagt så finns det väl 3 relativt normala infallsvinklar utöver albikis logaritmmetod. 

Alternativ 1: Utgående från seriedefinitionen

Utgående från summadefinitionen:

$e^x = \sum_{k = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

Visa på något sätt att serien som formas av att ta produkten av två serier

$e^x e^y = \left ( \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right ) \left ( \sum_{k = 0}^\infty \frac{y^k}{k!} \right )$

är samma serie den som definieras av

$e^{x + y} = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(x + y)^n}{n!}$

Alternativ 2: Gränvärdesdefinitionen.

Utgår vi istället från gränsvärdesdefinitionen

$e^x = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n$

Behöver vi visa att 

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{y}{m})^m = \lim_{r \to \infty} (1 + \frac{x+y}{r})^r$

Alternativ 3: Eller varför bry som att det är e överhuvudtaget. Bevisa 

$e^n e^m = e^{n + m}$ för heltal och rör dig vidare till fallet med rationella exponenter

$e^{p/q} e^{s/t} = e^{p/q + s/t}$

via en implicit definition av vad potenser är och försök överbrygga steget mellan det rationella till de reella talen.

Inga av dessa bevismetoder är särskilt lätta att fullfölja men jag skulle förvänta mig att alla som tagit envariabelanalys borde kunna ställa upp den typen av ansatser. 

SeriousCephalopod skrev:

Universitetsmatte är det ändå men alla bevis handlar om att man utgår från någon "mer funamental" idé och sedan visar att det man tror är sant följer av denna mer fundamentala idé. Beviset i det här fallet vilar på hur man väljer att definiera exponentialfunktionen eller vilka normer man har i sammanhanget för vad som är ett bevis. Normerna kan vara olika i ett rum med 15:åringar och ett rum med doktorander. 

Det sagt så finns det väl 3 relativt normala infallsvinklar utöver albikis logaritmmetod. 

[...]

---

Hur genomför du dina tre infallsvinklar utan att använda dig av potenslagar? I mina ögon är samtliga förslag beroende av tillämpning av potenslagar. 

Mitt förslag använder inte potenslagar, utan utgör en härledning av dem via logaritmlagen. Metoden jag använder är helt i linje med det givna problemets förutsättningar. 

Potenslagarna när exponenterna är heltal är ju bara en fråga om notation... Som jag skrev i inledningen så beror vad som är acceptabelt på normerna som ställs i sammanhanget.

Eftersom logaritmmetoden inte är min go-to har jag personligen inte så bra koll på den när det gäller att använda dess idé utanför reella analysen.

Kan den modifieras för analoga problem i andra domäner såsom från matris(lie)algebran med matrixexponentialfunktionen och $e^{aX}e^{bX}$ eller $e^{X}e^Y$ när $X,Y$ är kommuterande matriser och a,b är tal?

SeriousCephalopod skrev:

Eftersom logaritmmetoden inte är min go-to har jag personligen inte så bra koll på den när det gäller att använda dess idé utanför reella analysen.

Kan den modifieras för analoga problem i andra domäner såsom från matris(lie)algebran med matrixexponentialfunktionen och $e^{aX}e^{bX}$ eller $e^{X}e^Y$ när $X,Y$ är kommuterande matriser och a,b är tal?

Om du känner matrisexponentialfunktioner och Liealgebror så är du själv mer än kapabel att besvara din egen fråga. 

Ingen aning så jag tänker gå med ett yes det finns i så fall. Blir en kul aktivitet på bussen imorgon.