Visa att diskriminanten

Börja med att hitta ett uttryck för p och q med hjälp av a, b och c. Hur kan du uttrycka p och q, så att du sedan kan sätta in dessa uttryck som p och q i formeln? 

Smutstvätt skrev:

Börja med att hitta ett uttryck för p och q med hjälp av a, b och c. Hur kan du uttrycka p och q, så att du sedan kan sätta in dessa uttryck som p och q i formeln? 

Men de har ju redan samma tecken?

lovisla03 skrev:

Men de har ju redan samma tecken?

Ja de har samma tecken. Men uppgiften handlar om att kunna visa att det är så. Du ska alltså visa att de har samma tecken.

---------

För övrigt så anser jag att det står fel i uppgiften. Diskriminanten är $(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$.

Yngve skrev:

lovisla03 skrev:

Men de har ju redan samma tecken?

Ja de har samma tecken. Men uppgiften handlar om att kunna visa att det är så. Du ska alltså visa att de har samma tecken.

---------

För övrigt så anser jag att det står fel i uppgiften. Diskriminanten är $(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$.

Ok! Men det är väll visat när jag satt in det i ekvationen?

lovisla03 skrev:

Ok! Men det är väll visat när jag satt in det i ekvationen?

Om du visar ditt förslag pä lösning så är det lättare för oss att svara på den frågan.

Hej lovisla03. 

Tänk endast att du har ekvationen $a{x}^2 + bx + c = 0$ och du vill skriva om den på formen $x^{2 }+ px + q = 0.$ Hur får du $x^2$ ensamt? Jo, du dividerar med $a$ vilket vidare leder till $x^{2 }+ \frac{bx}{a} + \frac{c}{a} = 0$som vidare kan skrivas om till $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$. Nu är vi endast intresserade av vad som sker under rottecknet. För det vi fått fram får vi följande under rottecknet: $\sqrt{{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}} \to \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}- \frac{c}{a}} \to \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} .$ Eftersom $\frac{1}{4a^2} > 0$så måste det gälla att $b^2 - 4ac$ har samma tecken som ${\left(\frac{p}{2}\right)}^2 - q$. 

Jag minns själv när jag eftersökte hjälp för denna uppgift. Jag tycker att vissa moment kanske inte framkommer 100% tydligt men jag hoppas att der hjälper lite. 

Natascha skrev:

Hej lovisla03. 

Tänk endast att du har ekvationen $a{x}^2 + bx + c = 0$ och du vill skriva om den på formen $x^{2 }+ px + q = 0.$ Hur får du $x^2$ ensamt? Jo, du dividerar med $a$ vilket vidare leder till $x^{2 }+ \frac{bx}{a} + \frac{c}{a} = 0$som vidare kan skrivas om till $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$. Nu är vi endast intresserade av vad som sker under rottecknet. För det vi fått fram får vi följande under rottecknet: $\sqrt{{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}} \to \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}- \frac{c}{a}} \to \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} .$ Eftersom $\frac{1}{4a^2} > 0$så måste det gälla att $b^2 - 4ac$ har samma tecken som ${\left(\frac{p}{2}\right)}^2 - q$. 

Jag minns själv när jag eftersökte hjälp för denna uppgift. Jag tycker att vissa moment kanske inte framkommer 100% tydligt men jag hoppas att der hjälper lite. 

Men b^2-4ac är har ju alltid samma tecken? Plus framför b^2 och minus framför 4ac?

Nej det är tecknet på värdet av uttrycket b^2-4ac som avses.

• Om t.ex. b = 1, a = 1 och c = 1 så har uttrycket värdet 1^2-4*1*1 = -3, dvs negativt.
• Om t.ex. b = 2, a = 1 och c = 1 så har uttrycket värdet 2^2-4*1*1 = 0, dvs varken positivt eller negativt.
• Om t.e. b = 3, a = 1 och c = 1 så har uttrycket värdet 3^2-4*1*1 = 5, dvs positivt.

Yngve skrev:

Nej det är tecknet på värdet av uttrycket b^2-4ac som avses.

• Om t.ex. b = 1, a = 1 och c = 1 så har uttrycket värdet 1^2-4*1*1 = -3, dvs negativt.
• Om t.ex. b = 2, a = 1 och c = 1 så har uttrycket värdet 2^2-4*1*1 = 0, dvs varken positivt eller negativt.
• Om t.e. b = 3, a = 1 och c = 1 så har uttrycket värdet 3^2-4*1*1 = 5, dvs positivt.

Oj ska jag dela upp det i fall för tecken på a och b? Tex fall 1 då a,c och b större än 0 osv?

EDIT: du menar att man ska vi att det inte är -(b^2-4ac) eller 0(b^2-4ac)?

Nej exemplen var bara för att förklara vad det är som avses.

Du ska visa att

• om b^2-4ac < 0 så är även (p/2)^2-q < 0
• om b^2-4ac = 0 så är även (p/2)^2-q = 0
• om b^2-4ac > 0 så är även (p/2)^2-q > 0

Använd då tipset du fick i början, dvs att p = b/a och att q = c/a.

Yngve skrev:

Nej exemplen var bara för att förklara vad det är som avses.

Du ska visa att

• om b^2-4ac < 0 så är även (p/2)^2-q < 0
• om b^2-4ac = 0 så är även (p/2)^2-q = 0
• om b^2-4ac > 0 så är även (p/2)^2-q > 0

Använd då tipset du fick i början, dvs att p = b/a och att q = c/a.

Så??

Ja.

Jag skulle nog ha gjort så här.

$ax^2+bx+c=0$

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

Om vi jämför med pq-formeln så här vi att $p=\frac{b}{a}$ och $q=\frac{c}{a}$.

Eftersom pq-formeln lyder

$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

så kan vi uttrycka samma sak med

$x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

Eftersom uttrycken är lika så är även diskriminanterna lika, dvs

$(\frac{p}{2})^2-q=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

Multiplicera med $4a^2$:

$4a^2\cdot((\frac{p}{2})^2-q)=b^2-4ac$

Efrersom vi utgick från en andragradsekvation så är $a\neq0$, vilket innebär att $4a^2>0$, dvs ett positivt tal.

Multiplikation med ett positivt tal ändrar inte produktens tecken, vilket innebär att om

• $(\frac{p}{2})^2-q>0$ så är även $b^2-4ac>0$ och vice versa.
• $(\frac{p}{2})^2-q<0$ så är även $b^2-4ac<0$ och vice versa.
• $(\frac{p}{2})^2-q=0$ så är även $b^2-4ac=0$ och vice versa.

Det betyder att $(\frac{p}{2})^2-q$ har samma tecken som $b^2-4ac$.