Visa att det inte är ett rationellt tal

Jag vill visa att $1+2\sqrt{3}$ inte är ett rationellt tal.

Motsägelsebevis:

Antag att $1+2\sqrt{3}$ är rationellt och vi kan då skriva det som:

$1+2\sqrt{3}=\frac{p}{q}$, där $p,q$ är heltal.

Löser jag ut $\sqrt{3}$ får jag:

$2\sqrt{3}=\frac{p}{q}-1$

$\sqrt{3}=\frac{p-q}{2q}$.
Detta ska vara motsägelsen, att vänsterled är irrationellt, men är högerled rationellt?

Hur vet jag att $\frac{p-q}{2q}$ är rationellt?