Visa att det finns en sned asymptot

Visa att det existerar en sned asymptot till ett rationellt uttryck om $g r a d (t ä l j a r e) = g r a d (n ä m n a r e) + 1$

Jag tänker så här:

Om vi har ett polynom av grad $n$ kommer den första termen i polynomet kunna skrivas som $a x^{n}$ .

Vi vill visa att det finns en sned asymptot om det andra polynomet i täljaren är $g r a d (n ä m n a r e) + 1$ , så vi skriver den första termen i det polynomet som $b x^{n + 1}$ , $(a, b \neq 0)$ .

Vid polynomdivisonen kommer vi alltså att få en kvot (av de första termerna): $\frac{b x^{n + 1}}{a x^{n}} = \frac{b}{a} \cdot \frac{x^{n + 1}}{x^{n}} = \frac{b}{a} x$ .

Eftersom kvoten blir av grad 1 vet vi att hela det rationella uttrycket kommer kunna skrivas som $\frac{b}{a} x$ + någonting annat. Då blir "linjedelen" den sneda asymptoten.

Det här verkar som tillräckligt men jag vet inte om det skulle räknas som ett "bevis". Exempelvis: skulle jag få poäng för det här på ett prov?

Jag tror inte du skulle fått en sån här uppgift.

Men om vi antar att du hade fått den, jag tror att du murar in dig i ett specialfall.

Jag hade använt definitionen:

Exempelvis ges lutningen till den sneda asymptoten, om den existerar:

$k =\lim_{x \to \infty} f(x)/x$ och detta kan aldrig vara konvergent om inte (jag utesluter fallet a = 0, men det är lätt att visa med m-värdet att fallet nedan inte heller gäller):

$f(x) = \dfrac{a(x)}{b(x)}$ där $grad(a(x)) = grad(b(x)) +1$ .

Om täljaren är av grad $\geq 1$ större än nämnaren, går allt mot $\infty$ , om vi går åt andra hållet går allt mot $0$ .

Vad är det som gör det jag skrev till ett specialfall? Kan inte alla rationella funktioner skrivas som?:

$f (x) = \frac{b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} . . . + b_{0} x^{0}}{a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} . . . + a_{0} x^{0}} = \frac{b (x)}{a (x)}$

Om vi vet att alla rationella funktioner kan skrivas så erhålls vid polynomdivisionen en term $\frac{b_{n} x^{n}}{a_{n} x^{n}}$ , och dessutom vet vi att $g r a d (b (x)) = g r a d (a (x)) + 1$ , vilket gör att kvoten kommer börja på $\frac{b}{a} x$ .

Vill bara förtydliga att jag inte heller tror en sådan här uppgift skulle komma. Jag vill mer "bevisa" det för mig själv.

Okej, nu förstår jag vad du menade. Jag trodde du menade att hela polynomet var:

$bx^{n+1}$ och det andra $ax^n$

Jag vet inte om din "lärare" skulle vilja ha en motivering till hur du vet att det faktiskt blir på de sättet med poldiv efter du utför det med två godtyckliga polynom. Jag tycker det set ganska bra ut. Jag hade dock önskat att du definerade funktionerna först på ett sätt som du gjorde i #3. Det känns annars för min del som du skippat en stor del av beviset (även om jag nu hänger med på vad du menar).

TLDR: beror på vem läraren är.

bara en påmminelse at också kika över hur formlerna för en sned asymptot ser ut och kanske till och med beviset om du tycker det är spännande. Poldiv fungerar endast när vi har rena polynom, men senare så kommer vi ha exponentialfunktioner, trigonometriska funktioner mm. :)

Man kan göra så här.

r(x) = $\frac{a x^{n + 1} + q (x)}{x^{n} + h (x)}$ , där q(x) är polynom av grad n eller lägre och h(x) är polynom av grad n-1 eller lägre.

$\lim_{x \to \infty} \frac{r (x)}{x} = a$ , så om det finns asymptot y = kx + m så är k = a.

Men sedan måste man även visa att gränsvärdet $\lim_{x \to \infty} (r (x) - a x)$ existerar, detta gränsvärde blir då m-värdet. Detta steg lämnas som övning.

Svara

Visa senaste svar