Visa att det är delbart med 5 fast x gånger svårare

_Lucia_ skrev :

Visa att 34^n-19^n är delbart med 5 för all n>0.. alltså jag förstår inte vad jag ska göra ärligt talat :s

 Två förslag:

1. Använd ett induktionsbevis, där du visar att om påståendet gäller för $n$ så gäller det även för $n+1$. Sedan visar du att påståendet gäller för $n=1$ och därmed följer att påståendet gäller för alla $n>0$.
2. Använd den allmänna konjugatregeln som säger att $(a-b)$ är en faktor i $a^n-b^n$

3. Använd räknelagarna från modulär aritmetik för att finna ${34}^n-{19}^n\equiv 0\left(\mathrm{mod}5\right)$

SeriousCephalopod skrev :

3. Använd räknelagarna från modulär aritmetik för att finna ${34}^n-{19}^n\equiv 0\left(\mathrm{mod}5\right)$

 ... vilket antagligen är den metod som det är meningen att du ska använda, givet dina andra frågor.

Jag har nog iofs packat ner modulär aritmetik i min verktygslåda en gång i tiden, men jag har inte använt det tillräckligt mycket för att riktigt förstå.

Därav mina förslag på flacktång och sidavbitare när det som behövdes var en kofot.

Jag hade önskat att man kunde använda induktionsbevis men låg detta i avsnittet modulär aritmetik olyckligt nog. Mitt fel då jag inte heller placerade denna under avsnittet modulär aritmetik, nu är det försent att redigera men om en moderator kan så får den gärna göra det.

Vilken räkneregel gäller här, SeriousCheohalopod? Blir osäker med tanke på exponenterna :/

Det gäller att $a^n (\mathrm{mod} p)\equiv (a (\mathrm{mod} p){)}^n$. Exponenterna kan antingen vara udda eller jämna. 34 och 19 är kongruenta med (-1) (modulo 5). Om exponenterna är jämna blir ettorna positiva, och vi får $1-1=0$, medan om exponenterna är udda blir ettorna negativa, och vi får $(-1)-(-1)=-1+1=0$. 

Okej den första räkneregeln förstår jag. Men hur blir det eftersom det står ju 34^n-19^n det är subtraktion mellan båda. Ska jag då ta (34mod 5)^m - (19mod 5)^m? 

Alltså är det en regel att kunna att 34 och 19 är kongruena med -1 mod 5? Hur kommer man fram till det? Gäller det för alla tal, eller är det endast 34 och 19? 

Hur får vi 1-1= 0 varifrån kommer ettorna? :3

1. Ja, det stämmer! 

2. Nej, absolut inte. Däremot kan man relativt snabbt konstatera att 35 och 20 är multiplar av fem, samt att 34 och 19 båda är ett steg från 35 respektive 20. Därav slutsatsen. 

3. Det kommer ifrån att 34 och 19 är kongruenta med minus ett (mod 5). 

-1 mod 5= resten 1.. men sedan hur fortsätter man då för att bevisa? :3