9 svar
186 visningar
tarkovsky123_2 145
Postad: 2 aug 2018 17:04 Redigerad: 2 aug 2018 17:57

Visa att den linjära estimatorn L är konsistent

Hej! Jag har en uppgift i statistik som jag inte lyckats lösa och skulle därför uppskatta lite vägledning.

Uppgiften lyder:

Let X1,...,XnX_1,...,X_n be a sample with mean μ\mu and variance σ2\sigma ^2 and consider the linear estimator Ln=k=1nakXkL_n = \sum_{k=1}^{n}a_k X_k where ak0k a_k \geqq 0 \forall k and k=1nak=1\sum_{k=1}^{n}a_k = 1.

 

(b) Show that LL is consistent

Om jag väljer att kalla parametern som önskas skattas för θ\theta så vill jag visa att LnPθL_n \xrightarrow{P} \theta nn \longrightarrow \infty. Ett sätt att visa detta är att kontrollera ifall var(L)0var(L) \longrightarrow 0nn \longrightarrow \infty (enligt en sats i min lärobok). Det följer att (under antagandet att alla XkX_k är oberoende)

 

var(L)=var(k=1nakXk)=k=1nak2var(Xk)=σ2k=1nak2σ2var(L) = var( \sum_{k=1}^{n}a_k X_k ) = \sum_{k=1}^{n}a_k^2 var(X_k) = \sigma^2 \sum_{k=1}^{n}a_k^2 \longrightarrow \sigma^2 \ell om det gäller att =k=1ak2\ell = \sum_{k=1}^{\infty}a_k^2 existerar. Det återstår nu därför att visa att k=1ak2=0\sum_{k=1}^{\infty}a_k^2 = 0 vilket i så fall visar påståendet. Jag har försökt att angripa problemet med lite olika tekniker men jag lyckas inte. På något sätt ska man ju utnyttja (förmodligen) att k=1nak=1\sum_{k=1}^{n}a_k = 1 och att alla aka_k är icke-negativa, men jag lyckas inte.

 

Någon som kan ge mig lite förslag på hur jag kan fortsätta härifrån?

Tack!

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 2 aug 2018 17:31

Hej!

Jag utgår från att du måste mena estimatorn Ln=k=1nakXkL_{n} = \sum_{k=1}^{n}a_{k}X_{k} och inte det som du skrivit k=1nakXk\sum_{k=1}^{n}a_{k}X^{k}.

 

För att LnL_{n} ska vara en konsistent estimator för parametern μ\mu måste estimatorn vara väntevärdesriktig, vilket den är precis då

    k=1nak=1.\sum_{k=1}^{n}a_{k}=1.

 

Ditt önskemål att k=1ak2=0\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^2 = 0 är endast möjligt om alla ak=0a_{k} = 0.

tarkovsky123_2 145
Postad: 2 aug 2018 17:35 Redigerad: 2 aug 2018 18:05

Japp LnL_n har utseendet som du skriver. Mitt inlägg är uppdaterat.

 

Att LnL_n är väntevärdesriktig visades i deluppgift (a) och var väldigt straight forward, varför jag utelämnade det här.

Att alla ak=0a_k = 0 kan ju inte gälla, eller? Det skulle ju strida emot att k=1nak=1\sum_{k=1}^{n}a_k = 1? Alltså måste ju mitt tillvägagångssätt vara felaktigt, men hur ska man annars tackla problemet?

edit: Jag håller med dig när du skriver att $$\sum_{k=1}^{\infty}a_k^2  = 0 \implies a_k=0$$, men detta känns inte rätt och i så fall måste ju som sagt min ansats ovan vara felaktig.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 2 aug 2018 22:13

Hej!

Du har inte skrivit något om att aka_{k} beror på nn, vilket jag känner att de bör göra. Är detta ännu ett misstag från din sida? Har du skrivit av uppgiftstexten ordagrant, eller har du bara gett oss information som du tycker är relevant?

tarkovsky123_2 145
Postad: 2 aug 2018 22:18

Uppgiften är avskriven ordagrant. Om aka_k står det bara det jag skrivit ovan, dvs att att aka_k är ickenegativa och summerar till 1.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 2 aug 2018 22:25

Om talföljden (ak)k=1(a_{k})_{k=1}^{\infty} är given på förhand och för varje n>0n > 0 är summan k=1nak=1\sum_{k=1}^{n} a_{k} = 1 så följer det att a1=1a_1 = 1  (när n=1n=1) och a1+a2=1a_1+a_2 = 1 ( när n=2n=2) vilket ger a2=0.a_2 = 0. Sedan är a1+a2+a3=1a_1+a_2+a_3 = 1 (när n=3n=3) vilket ger a3=0.a_3 = 0. Uppenbarligen måste det gälla att a1=1a_1 = 1 och ak=0a_k =0 för alla övriga index.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 2 aug 2018 22:26

Det blir alltså en motsägelse så snart talföljden är något annat än denna: 1,0,0,0,....

tarkovsky123_2 145
Postad: 2 aug 2018 22:33

Ja, jag håller med. Såhär lyder uppgiften exakt:

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 2 aug 2018 23:07

Då blir frågan vad textförfattaren menar med begreppet ''consistent estimator''?

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 2 aug 2018 23:16

Min tanke är att det istället bör handla om en triangulär uppsättning konstanter akna_{kn} där 1kn1\leq k \leq n och n=1,2,3,...n=1,2,3,... och 

    Ln=k=1naknXk\displaystyle L_{n} = \sum_{k=1}^{n}a_{kn}X_{k}

och akn0a_{kn}\geq 0 för alla kk och för alla nn, och för varje nn är k=1nakn=1.\sum_{k=1}^{n}a_{kn}=1.

Variansen är

    Var(Ln)=σ2k=1nakn2\displaystyle Var(L_{n}) = \sigma^2\sum_{k=1}^{n}a_{kn}^2

och det gäller att visa att

    limnk=1nakn2=0.\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_{kn}^2 = 0.

Svara
Close