Visa att den linjära estimatorn L är konsistent

Hej! Jag har en uppgift i statistik som jag inte lyckats lösa och skulle därför uppskatta lite vägledning.

Uppgiften lyder:

Let $X_1,...,X_n$ be a sample with mean $\mu$ and variance $\sigma ^2$ and consider the linear estimator $L_n = \sum_{k=1}^{n}a_k X_k$ where $a_k \geqq 0 \forall k$ and $\sum_{k=1}^{n}a_k = 1$ .

(b) Show that $L$ is consistent

Om jag väljer att kalla parametern som önskas skattas för $\theta$ så vill jag visa att $L_n \xrightarrow{P} \theta$ då $n \longrightarrow \infty$ . Ett sätt att visa detta är att kontrollera ifall $var(L) \longrightarrow 0$ då $n \longrightarrow \infty$ (enligt en sats i min lärobok). Det följer att (under antagandet att alla $X_k$ är oberoende)

$var(L) = var( \sum_{k=1}^{n}a_k X_k ) = \sum_{k=1}^{n}a_k^2 var(X_k) = \sigma^2 \sum_{k=1}^{n}a_k^2 \longrightarrow \sigma^2 \ell$ om det gäller att $\ell = \sum_{k=1}^{\infty}a_k^2$ existerar. Det återstår nu därför att visa att $\sum_{k=1}^{\infty}a_k^2 = 0$ vilket i så fall visar påståendet. Jag har försökt att angripa problemet med lite olika tekniker men jag lyckas inte. På något sätt ska man ju utnyttja (förmodligen) att $\sum_{k=1}^{n}a_k = 1$ och att alla $a_k$ är icke-negativa, men jag lyckas inte.

Någon som kan ge mig lite förslag på hur jag kan fortsätta härifrån?

Tack!

Hej!

Jag utgår från att du måste mena estimatorn $L_{n} = \sum_{k=1}^{n}a_{k}X_{k}$ och inte det som du skrivit $\sum_{k=1}^{n}a_{k}X^{k}$ .

För att $L_{n}$ ska vara en konsistent estimator för parametern $\mu$ måste estimatorn vara väntevärdesriktig, vilket den är precis då

$\sum_{k=1}^{n}a_{k}=1.$

Ditt önskemål att $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^2 = 0$ är endast möjligt om alla $a_{k} = 0$ .

Japp $L_n$ har utseendet som du skriver. Mitt inlägg är uppdaterat.

Att $L_n$ är väntevärdesriktig visades i deluppgift (a) och var väldigt straight forward, varför jag utelämnade det här.

Att alla $a_k = 0$ kan ju inte gälla, eller? Det skulle ju strida emot att $\sum_{k=1}^{n}a_k = 1$ ? Alltså måste ju mitt tillvägagångssätt vara felaktigt, men hur ska man annars tackla problemet?

edit: Jag håller med dig när du skriver att $$\sum_{k=1}^{\infty}a_k^2 = 0 \implies a_k=0$$, men detta känns inte rätt och i så fall måste ju som sagt min ansats ovan vara felaktig.

Hej!

Du har inte skrivit något om att $a_{k}$ beror på $n$ , vilket jag känner att de bör göra. Är detta ännu ett misstag från din sida? Har du skrivit av uppgiftstexten ordagrant, eller har du bara gett oss information som du tycker är relevant?

Uppgiften är avskriven ordagrant. Om $a_k$ står det bara det jag skrivit ovan, dvs att att $a_k$ är ickenegativa och summerar till 1.

Om talföljden $(a_{k})_{k=1}^{\infty}$ är given på förhand och för varje $n > 0$ är summan $\sum_{k=1}^{n} a_{k} = 1$ så följer det att $a_1 = 1$ (när $n=1$ ) och $a_1+a_2 = 1$ ( när $n=2$ ) vilket ger $a_2 = 0.$ Sedan är $a_1+a_2+a_3 = 1$ (när $n=3$ ) vilket ger $a_3 = 0.$ Uppenbarligen måste det gälla att $a_1 = 1$ och $a_k =0$ för alla övriga index.

Det blir alltså en motsägelse så snart talföljden är något annat än denna: 1,0,0,0,....

Ja, jag håller med. Såhär lyder uppgiften exakt:

Då blir frågan vad textförfattaren menar med begreppet ''consistent estimator''?

Min tanke är att det istället bör handla om en triangulär uppsättning konstanter $a_{kn}$ där $1\leq k \leq n$ och $n=1,2,3,...$ och

$\displaystyle L_{n} = \sum_{k=1}^{n}a_{kn}X_{k}$

och $a_{kn}\geq 0$ för alla $k$ och för alla $n$ , och för varje $n$ är $\sum_{k=1}^{n}a_{kn}=1.$

Variansen är

$\displaystyle Var(L_{n}) = \sigma^2\sum_{k=1}^{n}a_{kn}^2$

och det gäller att visa att

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_{kn}^2 = 0.$

Svara

Visa senaste svar