visa att an = 4 * 3 ^n , n = 0, 1, ..., Diskret matematik kurs

Har lite svårt att förstå hur man ska tänka på en övning i boken diskret matematik skriven av Armen Asratian, Anders björn och Bengt Ove Turesson.

$Talföljden a_{n}, n = 0, 1, . . ., defineras genom \{\begin{cases} a_{n} = a_{n - 1} + 6 a_{n - 2}, n = 2, 3, . . ., \\ a_{0} = 4, a_{1} = 12 \end{cases} Visa att a_{n} = 4 \cdot 3^{n}, n = 0, 1, . . .,$

Jag har svarat såhär Beskrivning saknas.

Beskrivning saknas. Men jag känner det är något jag har missat. Tyvärr finns inget facit eller lösningsförslag för den här uppgiften. Skulle uppskatta råd för lösning om jag har tänkt fel.

Vad sägs om ett induktionsbevis?

Låt basfallet vara n=2, då gäller det som du redan visat.

Antag nu att det gäller för alla tal från 2 upp till och med p. Dvs a_p=4*3^p. Visa nu att det gäller även för p+1.

Emiiil skrev:
Har lite svårt att förstå hur man ska tänka på en övning i boken diskret matematik skriven av Armen Asratian, Anders björn och Bengt Ove Turesson.

$Talföljden a_{n}, n = 0, 1, . . ., defineras genom \{\begin{cases} a_{n} = a_{n - 1} + 6 a_{n - 2} \\ a_{0} = 4, a_{1} = 12 \end{cases} Visa att a_{n} = 4 \cdot 3^{n}, n = 0, 1, . . .,$

Jag har svarat såhär

Men jag känner det är något jag har missat. Tyvärr finns inget facit eller lösningsförslag för den här uppgiften. Skulle uppskatta råd för lösning om jag har tänkt fel.

Det är inte så att du skall skriva den kar.ekv. r^2-r-6=0 som har lösningarna -2 och 3 och sedan bestämma konstanterna i a=A(-2)^n+B 3^n ? Du kommer att få A= och B=4.

Calle_K skrev:
Vad sägs om ett induktionsbevis?

Låt basfallet vara n=2, då gäller det som du redan visat.

Antag nu att det gäller för alla tal från 2 upp till och med p. Dvs a_p=4*3^p. Visa nu att det gäller även för p+1.

Insåg att jag behövde läsa på lite om hur man gjorde induktionsbevis för p-1 då $a_{p + 1} = a_{p} + 6 a_{p - 1}$

Jag är fortfarande lite osäker på hur p-1 bevisas, men testade och kom fram till

$a_{p} = 4 \cdot 3^{p} a_{p - 1} = 4 \cdot 3^{p - 1} p + 1 = a_{p} + 6 a_{p - 1} \Rightarrow 4 \cdot 3^{p} + 6 (4 \cdot 3^{p - 1}) (e n l i g t a n t a g a n d e t) 4 \cdot 3^{p} + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3^{p - 1} \Rightarrow 4 \cdot 3^{p} + 8 \cdot 3^{p} 3^{p} (4 + 8) \Rightarrow 3^{p} \cdot 12 \Rightarrow 3^{p} \cdot 3 \cdot 2^{2} 3^{p + 1} \cdot 4 \Leftrightarrow 4 \cdot 3^{p + 1}$

Stämmer det?

Emiiil skrev:
Calle_K skrev:
Vad sägs om ett induktionsbevis?

Låt basfallet vara n=2, då gäller det som du redan visat.

Antag nu att det gäller för alla tal från 2 upp till och med p. Dvs a_p=4*3^p. Visa nu att det gäller även för p+1.

Insåg att jag behövde läsa på lite om hur man gjorde induktionsbevis för p-1 då $a_{p + 1} = a_{p} + 6 a_{p - 1}$

Jag är fortfarande lite osäker på hur p-1 bevisas, men testade och kom fram till

$a_{p} = 4 \cdot 3^{p} a_{p - 1} = 4 \cdot 3^{p - 1} p + 1 = a_{p} + 6 a_{p - 1} \Rightarrow 4 \cdot 3^{p} + 6 (4 \cdot 3^{p - 1}) (e n l i g t a n t a g a n d e t) 4 \cdot 3^{p} + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3^{p - 1} \Rightarrow 4 \cdot 3^{p} + 8 \cdot 3^{p} 3^{p} (4 + 8) \Rightarrow 3^{p} \cdot 12 \Rightarrow 3^{p} \cdot 3 \cdot 2^{2} 3^{p + 1} \cdot 4 \Leftrightarrow 4 \cdot 3^{p + 1}$

Stämmer det?

Ser bra ut.

Vad gäller basfall tänker jag som följande:

Du behöver visa att n=0 OCH n=1 gäller som basfall. Sedan kan du anta att det gäller för alla $n \in \{1, p\}$ för att sedan visa det för n=p+1.

Det lägsta p kommer isåfall vara p=1 och därmed blir p+1=2 vilket vi beöver för den slutna formeln. Hade vi bara haft n=0 som basfall hade vi behövt visa p+1=1 men då har vi med en term a_-1 (den slutna formeln blir då a₁=a₀+6a_-1) som inte är definierad.

Vi kan ha med n=2 och n=3 som basfall också för att vara helt säkra men det är inte nödvändigt.

Svara

Visa senaste svar