Visa att A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Matematik/Universitet)

Standardsättet för att visa att två mängder U och V är lika är att visa att $U \subset V$ och att $V \subset U$ .

Så man brukar gå tillväga på följande sätt.

Antag att x $\in U$ och visa att då måste x $\in V$ .

Antag att x $\in V$ och visa att då måste x $\in U$ .

Klart.

I vårt fall.

Antag att x ligger i mängden i VL, då ligger x i A eller så ligger x i både B och C.

Om x ligger i A så ligger x i både A(union)B och A(union)C. Därmed ligger x i snittet av dessa mängder, så x ligger i mängden i HL.

Om x ligger i både B och C så ligger x i mängden i HL, eftersom HL innefattar alla element som ligger i både B och C.

Så vi har visat att VL $\subset$ HL.

Se om du klarar nästa steg. Dvs visa att HL $\subset$ VL.

PATENTERAMERA skrev:
Standardsättet för att visa att två mängder U och V är lika är att visa att $U \subset V$ och att $V \subset U$ .

Så man brukar gå tillväga på följande sätt.

Antag att x $\in U$ och visa att då måste x $\in V$ .

Antag att x $\in V$ och visa att då måste x $\in U$ .

Klart.

I vårt fall.

Antag att x ligger i mängden i VL, då ligger x i A eller så ligger x i både B och C.

Om x ligger i A så ligger x i både A(union)B och A(union)C. Därmed ligger x i snittet av dessa mängder, så x ligger i mängden i HL.

Om x ligger i både B och C så ligger x i mängden i HL, eftersom HL innefattar alla element som ligger i både B och C.

Så vi har visat att VL $\subset$ HL.

Se om du klarar nästa steg. Dvs visa att HL $\subset$ VL.

Jag fastnar bara i att x för högerleget ska vara en delmängd i (A eller B) och (A eller C)

Axiom skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Standardsättet för att visa att två mängder U och V är lika är att visa att $U \subset V$ och att $V \subset U$ .

Så man brukar gå tillväga på följande sätt.

Antag att x $\in U$ och visa att då måste x $\in V$ .

Antag att x $\in V$ och visa att då måste x $\in U$ .

Klart.

I vårt fall.

Antag att x ligger i mängden i VL, då ligger x i A eller så ligger x i både B och C.

Om x ligger i A så ligger x i både A(union)B och A(union)C. Därmed ligger x i snittet av dessa mängder, så x ligger i mängden i HL.

Om x ligger i både B och C så ligger x i mängden i HL, eftersom HL innefattar alla element som ligger i både B och C.

Så vi har visat att VL $\subset$ HL.

Se om du klarar nästa steg. Dvs visa att HL $\subset$ VL.

Jag fastnar bara i att x för högerleget ska vara en delmängd i (A eller B) och (A eller C)

Därifrån kan du dela upp i 2 fall, antingen tillhör x A eller inte.

Smutsmunnen skrev:
Axiom skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Standardsättet för att visa att två mängder U och V är lika är att visa att $U \subset V$ och att $V \subset U$ .

Så man brukar gå tillväga på följande sätt.

Antag att x $\in U$ och visa att då måste x $\in V$ .

Antag att x $\in V$ och visa att då måste x $\in U$ .

Klart.

I vårt fall.

Antag att x ligger i mängden i VL, då ligger x i A eller så ligger x i både B och C.

Om x ligger i A så ligger x i både A(union)B och A(union)C. Därmed ligger x i snittet av dessa mängder, så x ligger i mängden i HL.

Om x ligger i både B och C så ligger x i mängden i HL, eftersom HL innefattar alla element som ligger i både B och C.

Så vi har visat att VL $\subset$ HL.

Se om du klarar nästa steg. Dvs visa att HL $\subset$ VL.

Jag fastnar bara i att x för högerleget ska vara en delmängd i (A eller B) och (A eller C)

Därifrån kan du dela upp i 2 fall, antingen tillhör x A eller inte.

Om x tillhör A så finns bara x i A och endast A eller så finns x i B och i C, alltså B skärning C?

Aha och det är ju det som står i VL, alltså är VL en delmängd i Högerledet.

Så för att lösa såna här uppgifter ska man skriva ut som du sa först att x är en delmängd i ena ledet t.ex. VL och sedan visa att det ledet motsvarar HL och sedan tvärtom, då har man bevisat det?

Du måste skilja på betydelsen av olika tecken här.

$x \in V$ betyder att x är ett element i mängden V.

$U \subset V$ betyder att mängden U är en delmängd till mängden V.

PATENTERAMERA skrev:
Du måste skilja på betydelsen av olika tecken här.

$x \in V$ betyder att x är ett element i mängden V.

$U \subset V$ betyder att mängden U är en delmängd till mängden V.

Okej så att x är element i ena Mängden så måste det det vara ett element i andra mängden och tvärtom och sedan att mängderna är delmängder av varandra? Är det specifikt för just detta fallet?

Ja, det är generellt. Jag tror till och med att det är definitionen av det innebär att två mängder är lika.