Visa att

Om y₁" + ay₁' + by₁ = 0, hur mycket är då Ay₁" + Aay₁' + Aby₁?

Det blir väl också 0? Eller blir det A?

Hur menar du?

Laguna menar: Ay’’+Ay’+Ay=A(y’’+y’+y)=A•0=0, ty parentesen =0

Jag fattar tyvärr fortfarande inte hur man ska lösa denna fråga. 

Till att börja med:

Om derivatorna av $y_1$ är $y_1'$ och $y_2''$ så är derivatorna av $Ay_1$ lika med $Ay_1'$ och $Ay_1''$.

Samma sak gäller för $By_2$

Bilda nu $y=Ay_1+By_2$

Då är enligt ovan $y'=Ay_1'+By_2'$ och $y''=Ay_1''+By_2''$

Det betyder att $y''+ay'+by=$

$=(Ay_1''+By_2'')+a(Ay_1'+By_2')+b(Ay_1+By_2)=$

$=Ay_1''+aAy_1'+bAy_1+By_2''+aBy_2'+bBy_2=$

$=A(y_1''+ay_1'+by_1)+B(y_2''+ay_2'+by_2)$

Kommer du vidare därifrån?

Fattar tyvärr fortfarande inte. Förstår inte frågeställningen fullt ut heller..

Den aktuella differentialekvationen är y''+ay'+by = 0.

Är du med på att

• alla funktioner y som uppfyller villkoret y''+ay'+by = 0 är lösningar till den differentialekvationen?
• alla lösningar y till den differentialekvationen uppfyller villkoret y''+ay'+by =0?

Det är jag med på!

OK ör du då även med på följande?

Om vi kan visa att $y=Ay_1+By_2$ uppfyller villkoret $y''+ay'+by=0$ så är $y=Ay_1+By_2$ en lösning till differentialekvationen?

Ja

OK bra.

Sätt då in $Ay_1+By_2$ istället för $y$ i differentialekvationens vänsterled.

Om du nu kan visa att detta uttryck alltid är lika med 0 så har du visat att $y=Ay_1+By_2$ är en lösning till differentialekvationen.

Hur blir derivatan respektive andraderivatan här? Tänker när jag ska sätta in y'' och y'.

Ja det stämmer.

Läs mitt svar #7 igen.

Yngve skrev:

Till att börja med:

Om derivatorna av $y_1$ är $y_1'$ och $y_2''$ så är derivatorna av $Ay_1$ lika med $Ay_1'$ och $Ay_1''$.

Samma sak gäller för $By_2$

Bilda nu $y=Ay_1+By_2$

Då är enligt ovan $y'=Ay_1'+By_2'$ och $y''=Ay_1''+By_2''$

Det betyder att $y''+ay'+by=$

$=(Ay_1''+By_2'')+a(Ay_1'+By_2')+b(Ay_1+By_2)=$

$=Ay_1''+aAy_1'+bAy_1+By_2''+aBy_2'+bBy_2=$

$=A(y_1''+ay_1'+by_1)+B(y_2''+ay_2'+by_2)$

Kommer du vidare därifrån?

Kommer tyvärr inte vidare.

Men förstår du allt fram dit?

Jag förstår det du gör rent matematiskt men känner nu att jag inte förstår vad det är som sker. Visst vi använder vårat y och sätter in det i funktionen y'' + ay' + by= 0 genom att få räkna fram y' och y'' för att visa att v.l även kommer bli 0. Men jag förstår inte att det är två olika funktioner och hur andraderivatan och derivatan här utan att ha värden och "derivera som vanligt" kommer leda oss fram till 0?

 Är du alltså med på att uttrycket $A(y_1''+ay_1'+by_1)+B(y_2''+ay_2'+by)$ är lika med 0 eftersom det som står innanför de båda parenteserna är lika med 0?

Om ja, ibland kanske man får nöja sig med att saker går att visa rent matematiskt.

Yngve skrev:

 Är du alltså med på att uttrycket $A(y_1''+ay_1'+by_1)+B(y_2''+ay_2'+by)$ är lika med 0 eftersom det som står innanför de båda parenteserna är lika med 0?

Ja det är väl för att det i uppgiften är givet att

y'' + ay' + by= 0

Så det är typ som att det står 0 inuti parantesen?

Om ja, ibland kanske man får nöja sig med att saker går att visa rent matematiskt.

Tycker denna fråga #1 var lite konstig

plusminus skrev:

Ja det är väl för att det i uppgiften är givet att

y'' + ay' + by= 0

Nja, inte riktigt.

Eftersom $y_1$ är en lösning till differentialekvationen (det är givet) så gäller det att $y_1''+ay_1'+by_1=0$

Samma sak gäller för $y_2$

Det ör därför som det som står innanför parenteserna är lika med 0

Så det är typ som att det står 0 inuti parantesen?

Ja

Var tvungen att läsa om det lite fler gånger. Tack för hjälpen!