Visa att 49^n -1 är delbart med 8
Hej! Har fått en uppgift utan facit eller lösningsförslag men eftersom jag fastnar tänker jag att fråga om hjälp här, uppgiften lyder:
Visa att 49^n -1 är delbart med 8
Det första jag tänker på är att 49^n alltid kommer att bli ett ojämnt tal. -1 gör sedan att talet blir ett jämnt tal men därefter kommer jag inte längre. Jag vet om att om ett tal ska vara delbart med 8 ska summan av de tre sista siffrorna vara delbart med 8, men vet inte riktigt hur det hjälper mig.
Har en liten fundering och undrar om jag tänker rätt. Om ett tal är delbart med 8 ska därför resten vid modulo ska bli noll, tänker mig också att det ska vara modulo 8. Det ger mig följande.
49^n -1 = 0 mod(8)
1^n -1 = 0 mod(8)
1^n kommer alltid ge 1, därför kommer vänsterledet bli 1-1 = 0
0 = 0 mod(8)
Är detta rätt resonemang?
Tror du är på fel spår. Du ska visa, bevisa och då n är godtyckligt heltal får jag direkt tanken om induktionsbevis.
Försök då starten men n=1 enkel. För mod() kan inte skrivas på användbart sätt.
Din lösning stämmer. Man kan förenkla mod 8 och inser då att resten kommer alltid bli 1 mod 8. Man kan då förenkla det till 1-1 som är kongruent med 0 mod 8, dvs är kongruent med 0 mod 8. Med andra ord, 8 delar talet .
Induktion fungerar också självklart. :)
