visa att (Matematik/Matte 4/Trigonometri)

tan(t/2) är inte lika med sin(t)/cos(2t).

Och sin(t)/cos(2t) är inte lika med sin(t)/sin(t) som du har skrivit. På vilket sätt här du kollat att den likheten stämmer?

Varje gång du skriver ett likhetstecken så måste du kolla och dubbelkolla att det som står innan är identiskt med det som står efter.

Om vi tittar högerledet täljaren så tar cos (t) ut varandra. Vi har kvar sin (t) både i täljaren och i nämnaren. Det blir ett.

Jag vet inte, hur jag ska gå tillväga med detta.

Du kan ju istället pröva att gå över till vinkeln t/2 även i HL ...

Ja, hur.

Päivi skrev :
Om vi tittar högerledet täljaren så tar cos (t) ut varandra. Vi har kvar sin (t) både i täljaren och i nämnaren. Det blir ett.

Nej just det. Så likheten stämmer alltså inte. Det är precis såna saker jag vill att du kollar varje gång du skriver ett likhetstecken.

Det såg ut att vara omöjligt sätta gång med den här uppgiften. De är inte lika på något sätt.

Päivi skrev :
Ja, hur.

Om du säger att t är "dubbla vinkeln", vad är då vinkeln?

t kan inte vara något annat än bokstav i det här fallet.

Dubbla vinkel är ex 2t,

sin (2t)= sin(t + t)

sin (3t)= sin(2t + t)

sin (4t)= sin( 2t+ 2t)

---------

cos (2t)= cos (t+ t) , då ändrar vi detta till minus.

cos (2t)= cos(t-t), här ändrar vi till minus.

För övrigt skrivs på det samma sätt om man ska starta det hela.

Man kan ha ex 3t, 4t ovs.

Päivi skrev :
t kan inte vara något annat än bokstav i det här fallet.
Dubbla vinkel är ex 2t,

Nu vill jag att du kommer på detta själv.

Om 1 liter mjölk är dubbelt då mycket som jag vill ha, hur mycket mjölk vill jag då ha?

Det är bara hälften.

Notera följande:

cos(t) = cos(2*(t/2)) = 1 - 2sin(t/2)^2

sin(t) = sin(2*(t/2)) = 2sin(t/2)cos(t/2)

Päivi skrev :
Det är bara hälften.

Ja, och hur mycket är det, i liter räknat?

Den här ursprungliga uppgiften går inte lösa alls.

Det står 1-cos(t)

det fattas till och med 1-cos^ 2(t), det kan inte ens bli sin^2(t), när det står 1-cos (t)

1 står för trig ettan. Det finns inget som tar ut varandra.

Det finns inget likt i det här.

0.5L

1/2L

Varför vill du inte följa mina försök att hjälpa dig, Päivi?

Är det frågan om halva vinkeln då?

Päivi skrev :
Är det frågan om halva vinkeln då?

Ja!

Hur många halva vinklar behöver man för att få en "hel" vinkel?

Dvs hur många t/2 behövs det för att få t?

Det gäller som sagt att cos(t) = 1 - 2sin(t/2)^2
Alltså gäller att : 1-cos(t) = 1 - (1-2sin(t/2)^2) = 2sin(t/2)^2
Sen kommer du ihåg andra likheten jag beskrev så får du lista ut sista steget.

Om det rör sig om halva vinkeln måste man ha 2 i nämnaren, men där står det sin(t) i nämnaren.

Nej det är t som är dubbla vinkeln, alltså är t/2 vinkeln, eftersom 2*t/2 = t.

Du kan alltså skriva cos(t) = cos(2*t/2) = {använd formeln för dubbla vinkeln} = ...

Kan du fortsätta där?

1- cos ^2(t)= 1-2sin^2(t)upp höjt till 0.5

Nej, du ska använda att cos(t) = cos(2*t/2) och sedan använder du formeln för dubbla vinkeln.

Om du tycker att detta blev komplicerat så kan vi göra så här istället Päivi.

Glöm allt vi har skrivit hittills och så börjar vi om från början:

Visa att tan(t/2) = (1-cos(t))/sin(t)

Kalla nu t/2 för x. Då blir t/2 = x och t = 2x.

Alltså blir:

tan(t/2) = tan(x)
sin(t) = sin(2x)
cos(t) = cos(2x)

Då kan vi istället skriva ursprungsuppgiften på följande sätt, som vi kallar "Variant 2":

Variant 2: Visa att tan(x) = (1-cos(2x))/sin(2x)

Är du med på det?

Använd då de välbekanta formlerna för dubbla vinkeln i HL, förenkla och sedan är du klar.

2

Jag håller skriver nu i formeleditor. Tänker på hälften av allt från dubbla vinkel. Det dröjer lite grann nu. Jag ska försöka tänka efter lite.

$\cos (2 t) = \cos^{2} (t) - \sin^{2} (t) = d u b b l a v i n k e l \cos (2 t) = 2 \cdot \cos^{2} - 1 = d u b b l a v i n k e l \cos (2 t) = 1 - 2 \sin^{2} (t) = d u b b l a v i n k e l 1 - \cos^{2} = 1 - (1 - 2 \sin^{2} (t))^{\frac{1}{2}} (" h ä l f t e n a v \sin " - - - - - - - - - - - 2 b e t y d e r a n t a g l i g e n t v å g å n g e r t r i g e t \tan . t r i g e t \tan \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) n u h a r v i 2 \sin^{\frac{t}{2}} \cdot$

Ja, det är jag med på, Yngve!

Innan du fortsätter - följer du variant 1 eller variant 2 nu?

Klargörande:

Variant 1 är "Visa att tan(t/2) = (1-cos(t))/sin(t)"

Variant 2 är "Visa att tan(x) = (1-cos(2x))/sin(2x)"

Kallas din variant nr. 1?

Päivi skrev :
Kallas din variant nr. 1?

Se mitt senaste svar.

Blanda inte ihop variant 1 och 2 nu.

Välj en av dem så hjälper vi dig hela vägen till mål.

Jag tror att variant 2 är enklast för dig.

Vi tar variant 2

Okej, börja då att förenkla täljaren som är 1 - cos(2x) med hjälp av formeln för dubbla vinkeln.

Jag ska skriva detta i dator nu. Jag skriver just nu från telefonen. Vänta ett tag.

$\frac{1 - \cos (t)}{\sin (2 t)} = \frac{1 - (1 - 2 \sin^{2^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot \sin (t)^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (t)^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sin^{2^{\frac{1}{2}}}}{\cos (t)^{\frac{1}{2}}} = \tan^{\frac{1}{2}}$

Nej det där blev inte rätt, det gäller inte att $\cos(2x) = 1 - \sin(x)$ , utan det gäller att $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$ .

Jag tänkte på 1- cos ^2(x)= sin ^2 (x)

formeln för alla cos varianter säger

cos 2x= cos ^2(x)- sin^2(x)

cos 2x= 2 cos ^2 (x) - 1

cos 2x= 1- 2 sin^2 (x)

cos x= 1-2 sin^2(x)^ 1/2

I detta fall rekommenderar jag dig att använda att $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$ , vad får du då täljaren till?

Täljaren 1-cos(t) = 1- 2sin^2(t)^1/2

så här långt är jag med.

cos 2x= 1- (1-sin ^2x)

Nej det där stämmer inte, vad får du ^(1/2) från?

Du har alltså $1 - \cos (2 x)$ i täljaren, om du här ersätter $\cos(2x)$ med $1 - 2\sin^2(x)$ så får du $1 - (1 - 2\sin^2(x))$ . Sedan ska du förenkla detta.

Det blir kvar sin^2(x)

Nej det blev inte rätt, du har att

$1 - \cos(2x) = 1 - (1 - 2\sin^2(x)) = 1 - 1 + 2\sin^2(x) = 2\sin^2(x)$

så täljaren blir alltså $2\sin^2(x)$

1-cos^2(x)= 1- (1- 2 sin^2(x))

1- 1 + 2 sin^2(x)

ettorna tar ut varandra.

Svaret blir 2 sin^2(x)

Ja det där ser bra ut! Nu ska du beräkna nämnaren $\sin(2x)$ också, använda formeln för dubbla vinkeln för att göra det.

Vi skrev tydligen samtidigt.

sin(2x)= 2sin(x)cos(x)

Japp, så vad blir kvoten mellan täljaren och nämnaren?

sin(x)/cos(x)= tan (x)

Ja du får så där efter att du har förkortat kvoten. Så då har du visat version 2 av uppgiften, dvs att

$\frac{1 - \cos(2x)}{\sin(2x)} = \frac{1 - (1 - 2\sin^2(x))}{\sin(2x)} = \frac{2\sin^2(x)}{2\sin(x)\cos(x)}$

$= \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$

Vad händer om du låter $x = \frac{t}{2}$ i denna lösning?

Nu hittills har jag skrivit allt från telefonen. Jag skriver det i datorn nu.

Tydligen fick jag inte det med glömde trycka på knappen där nere. Gör nytt försök.

$\frac{1 - \cos (t)}{\sin (2 t)} = \frac{1 - (1 - 2 \sin (t)^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot \sin (t)^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (t)^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sin (t)^{\frac{1}{2}}}{\cos (t)^{\frac{1}{2}}} \tan (t)^{\frac{1}{2}}$

Päivi skrev :
$\frac{1 - \cos (t)}{\sin (2 t)} = \frac{1 - (1 - 2 \sin (t)^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot \sin (t)^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (t)^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sin (t)^{\frac{1}{2}}}{\cos (t)^{\frac{1}{2}}} \tan (t)^{\frac{1}{2}}$

Nej nu rör du ihop det. Ingen av varianterna ser ut så där. Du har här skrivit vinkeln t i täljaren och vinkeln 2t i nämnaren.

--------

Inget av likhetstecknen du har skrivit beskriver någon identitet.

Jag vill att du varje gång du skriver ett likhetstecken, kollar och dubbelkollar att det som står innan är identiskt med det som står efter.

-------

Jag vet nu inte om du har klarat av denna uppgift eller inte.

Jag ska försöka beskriva till dig via dator. Vänta nu ett tag Yngve. !

Jag råkade trycka för tidigt posta svar, när jag inte var ens färdig av misstag. Gör nytt försök, vänta!

$\tan \frac{t}{2} = \frac{1 - \cos (t)}{\sin (t)} f o r m e \ln \cos (2 a) = \cos^{2} (t) - \sin^{2} (t) \cos (2 a) = 2 \cos^{2} (t) - 1 d u b b l a v i n k l a r \cos (2 a) = 1 - 2 \sin (t) - - - - - - - - - - - - - - j a g a n v ä n d e r t r e d j e f o r m e \ln . D e n l i k n a r m e d u r p r u n g l i g a t ä l j a r e n : 1 - \cos (t) = 1 - (1 - 2 \sin^{2} (t)) f ö r e n k l a r 1 - 1 + 2 \sin^{2} (t) 1 - 1 = 0 b l i r k v a r 2 \sin^{2} (t) n ä m n a r e n : n u h a l v e r a r v i u t t r y c k e t 2 \sin^{2} (t) = 2 \cdot \sin^{\frac{t}{2}} \sin (t)^{\frac{t}{2}} \frac{t ä l a r e n}{n ä m n a r e n} = \frac{\sin^{\frac{t}{2}} \cdot \sin^{\frac{t}{2}}}{2 \cdot \sin^{\frac{t}{2}} \cdot \cos^{\frac{t}{2}}} = \frac{\sin^{\frac{t}{2}}}{\cos^{\frac{t}{2}}} = \tan^{\frac{t}{2}} \sin t a r f ö r k o r t a r v i b o r t f r å n t ä l j a r e n o c h n ä m n a r e n$

Ser du nu Yngve! Det var besvärligt skriva från dator. Kan du svara nu, när du har sett detta.

OK Päivi.

Jag ser att du har tänkt rätt och kommit fram till rätt resultat.

Det är bra, det ser ut som att du förstår det hela, och det är viktigast.

...

Men, du har skrivit massor av fel på vägen.

Jag ser att du inte alls är van vid formeleditorn. Eftersom du inte använder parenteser tillsammans med sin-, cos- och tan-funktionerna så ser det istället ut som om du har dem upphöjda till t/2.

Det ser alltså ut som om du skriver sin^(t/2) istället för sin(t/2).

Och på ett ställe har du även skrivit så, nämligen på den raden som slutar med 2*sin t/2 sin(t)^(t/2).

---

Du har skrivit fel i alla tre formlerna för cosinus av dubbla vinkeln.

I alla tre formlerna har du skrivit vinkeln 2a i VL och x i HL. Det hänger inte ihop.

I formel 3 har du glömt att kvadrera sinustermen.

---

När du använder tredje formeln skriver du in kvadraten men glömmer att halvera vinkeln.

---

När du omvandlar nämnaren sin(t) så skriver du att den är 2sin^2(t). Sen skriver du att du "halverar" den. Det ser jättekonstigt ut.

------

På sista raden saknar du en tvåa i täljaren så likheten stämmer helt enkelt inte.

Jag vill att du varje gång du skriver ett likhetstecken, kollar och dubbelkollar att det som står innan är identiskt med det som står efter.

Nu vill jag att du verkligen gör det framöver.

------

Du vet väl att du kan redigera en formel även när du har klistrat in den i ett inlägg?

Det är bara att klicka någonstans i formeln och trycka på rottecknet bland ikonerna igen, så öppnas formeleditorn med just den formeln och du kan ändra den.

Jag ska göra en ny liknande uppgift här. Kolla även det. Jag har inte börjat med den än, men ska sätta gång med en gång nu.

Titta Yngve det här om en stund.

Päivi, du vet väl att du kan blanda formler med text?

Du kan alltså ha flera formler i samma inlägg.

Antingen skriver du en formel på en egen rad, som här:

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)^{} = 1$

Eller så skriver du in formeln mitt i raden $y = x^{2}$ , som här.

Du kan $a = \frac{b}{c}$ ha flera $y = \cos (v)$ formler på samma $\sin^{3} (t)$ rad.

Du kan skriva in formler med stort typsnitt: $y = f (x)$

Och du kan skriva med litet typsnitt: $\sqrt{a^{2} + b^{2}} = c$

Du kan ha olika färger och fetmarkera hela eller delar av formeln:

$A = \frac{B}{C} \cdot \sqrt{D}$

Försök att undvika att skriva för långa formler med för stort typsnitt på samma rad, de får inte plats på en liten skärm som t.ex. en mobiltelefon.

Försök att låta bli att skriva text inne i formeleditorn.

Skriv gärna här att du läst detta så att jag vet.

Jag har läst.

Jag ska visa en annan uppgift. Har kommit bra bit framåt nu med uppgiften. Den påminner den här, men är lite annorlunda ändå.

Gå titta nu Yngve, helt ny tråd

Gå titta nu Yngve! Den är färdig, en helt ny tråd!