Visa att....

För i=1,2,3,...,n , låt $x_{i}^{*}$ vara

${[x_{i}^{*}]}^{2} = \frac{1}{3} [{(x_{i - 1})}^{2} + x_{i - 1} x_{i} + {(x_{i})}^{2}]$

Visa att $x_{i - 1} < x_{i}^{*} < x_{i}$

Jag har visat att $x_{i - 1} < x_{i}^{*}$ på följande sätt:

Å ena sidan vet vi att

$x_{i - 1} < x_{i}$

$0 < x_{i} - x_{i - 1} 0 < {(x_{i} - x_{i - 1})}^{2} 0 < x_{i}^{2} - 2 x_{i} x_{i - 1} + x_{i - 1}^{2} 3 x_{i} x_{i - 1} < x_{i}^{2} + x_{i} x_{i - 1} + x_{i - 1}^{2} x_{i} x_{i - 1} < \frac{1}{3} (x_{i}^{2} + x_{i} x_{i - 1} + x_{i - 1}^{2}) x_{i} x_{i - 1} < {[x_{i}^{*}]}^{2}$

Å andra sidan gäller olikheten

$x_{i - 1}^{2} < x_{i} x_{i - 1} < x_{i}^{2}$

Det innebär att

$x_{i - 1}^{2} < x_{i} x_{i - 1} < {[x_{i}^{*}]}^{2} x_{i - 1} < x_{i}^{*}$

Men nu har jag kört fast på hur jag ska visa att andra delen av olikheten också gäller, dvs. $x_{i}^{*} < x_{i}$ ?

Jag tror att nu äntligen har jag kommit fram till ett vettigt svar! Så här fortsätter jag:

$x_{i - 1}^{2} < {[x_{i}^{*}]}^{2} x_{i - 1}^{2} < \frac{1}{3} [x_{i}^{2} + x_{i}^{} x_{i - 1}^{} + x_{i - 1}^{2}] 3 x_{i - 1}^{2} < x_{i}^{2} + x_{i}^{} x_{i - 1}^{} + x_{i - 1}^{2} 2 x_{i - 1}^{2} - x_{i}^{} x_{i - 1}^{} < x_{i}^{2} 2 (3 {[x_{i}^{*}]}^{2} - x_{i}^{} x_{i - 1}^{} - x_{i}^{2}) - x_{i}^{} x_{i - 1}^{} < x_{i}^{2} 6 {[x_{i}^{*}]}^{2} - 3 x_{i}^{} x_{i - 1}^{} < 3 x_{i}^{2} 2 {[x_{i}^{*}]}^{2} - x_{i}^{} x_{i - 1}^{} < x_{i}^{2} Och eftersom x_{i}^{} x_{i - 1}^{} < {[x_{i}^{*}]}^{2} då får vi olikheten : {[x_{i}^{*}]}^{2} < 2 {[x_{i}^{*}]}^{2} - x_{i}^{} x_{i - 1}^{} < x_{i}^{2} Alltså {[x_{i}^{*}]}^{2} < x_{i}^{2} vilken i \sin tur innebär att x_{i}^{*} < x_{i}^{} V . S . B .$

Är det något som jag missat här?

Stämmer påståendet? Är det några fler krav du inte nämner?

Notera att vi inte vet något om x_i*:s tecken t.ex. då vi bara känner till saker om dess kvadrat. Så hur vet du att det inte är omvänt tecken istället?

JohanB skrev:
Stämmer påståendet? Är det några fler krav du inte nämner?

Notera att vi inte vet något om x_i*:s tecken t.ex. då vi bara känner till saker om dess kvadrat. Så hur vet du att det inte är omvänt tecken istället?

Ja visst! den här har jag glömt att lägga till:

Låt ${x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . ., x_{n}}$ vara en partition av [a,b] där a<b.

Min bevisföring gäller faktiskt bara för när x>0. Men då undrar jag hur man ska bevisa det för alla reella tal?

JohanB skrev:
Stämmer påståendet? Är det några fler krav du inte nämner?

Notera att vi inte vet något om x_i*:s tecken t.ex. då vi bara känner till saker om dess kvadrat. Så hur vet du att det inte är omvänt tecken istället?

Det står ingenstans i uppgiften att 0<a<b fast det måste vara fallet annars stämmer inte påståendet.

Svara

Visa senaste svar