Visa att....
Visa att n(n2-1) är delbart med 6 för alla heltal n.
Så här har jag tänkt:
Om uttrycket är delbart med 6 då gäller det (n-1)n(n+1)=6k för några heltal k. Det innebär att produkten av tre på varandra heltal är delbart med 6. Om jag nu använder mig av induktionsbevismetoden för att visa att påståendet stämmer, då har vi:
Om n=0 då: VL=0 och 0 är delbart med 6
Nu antar vi att påståendet gäller för n=p också, då: p(p2-1)=6k
Nu ska vi bevisa att påståendet gäller även för n=p+1: (p+1)((p+1)2-1)
Enligt antagandet så är första termen, d.v.s. p(p2-1), delbart med 6. Men kan den andra termen då vara delbar med 6?
Finns det något annat sätt att genomföra denna bevisföring utan att använda sig av induktionsbevismetoden?
Tack på förhand!
Den andra termen är ju delbar med tre. Frågan är om den också är delbar med två. Svaret är ja, eftersom antingen p eller (p+1) måste vara ett jämnt tal. :)
Jag skulle nog kunna tänka mig att denna metod kan fungera utan induktionsbevis också. Vad händer om n är udda? Vad händer om n är jämnt? :)
Antingen så är p eller (p + 1) ett jämnt tal.
3p(p + 1) är då delbart med 2 och med 3, så delbart med 6.
Utan induktion så kan man kanske inse att ett av talen
(n - 1), n och (n + 1)
är delbart med 3.
Minst ett av talen är jämnt, så produkten är även delbar med 2, så delbar med 6.
Smutstvätt skrev:Den andra termen är ju delbar med tre. Frågan är om den också är delbar med två. Svaret är ja, eftersom antingen p eller (p+1) måste vara ett jämnt tal. :)
Jag skulle nog kunna tänka mig att denna metod kan fungera utan induktionsbevis också. Vad händer om n är udda? Vad händer om n är jämnt? :)
Jag har provat med det sättet och det blev så här:
Om n är ett jämnt tal då kan vi skriva: n=2a där a är ett heltal
2a((2a)2-1)=2(4a3-a) vilket är delbart med 2
Om n är ett udda tal då kan vi skriva: n=2a+1
(2a+1)((2a+1)2-1)=4(a3+3a2+1) vilket också är delbart med 2
hur ska man bevisa att det är delbart med 3 också?
Jag håller med om Dr. G:s approach – , och ett av dessa tal är delbart med tre, och minst ett är delbart med två. :)
Marx skrev:Smutstvätt skrev:Den andra termen är ju delbar med tre. Frågan är om den också är delbar med två. Svaret är ja, eftersom antingen p eller (p+1) måste vara ett jämnt tal. :)
Jag skulle nog kunna tänka mig att denna metod kan fungera utan induktionsbevis också. Vad händer om n är udda? Vad händer om n är jämnt? :)
Jag har provat med det sättet och det blev så här:
Om n är ett jämnt tal då kan vi skriva: n=2a där a är ett heltal
2a((2a)2-1)=2(4a3-a) vilket är delbart med 2
Om n är ett udda tal då kan vi skriva: n=2a+1
(2a+1)((2a+1)2-1)=4(a3+3a2+1) vilket också är delbart med 2
hur ska man bevisa att det är delbart med 3 också?
Eller kan vi säga så här:
Om n är ett udda tal då kan vi skriva: n=2a+1, så:
2k(2k+1)(2k+2)
och denna är ju produkten av tre på varandra följande heltal och då måste ett av dem vara delbart med 3. Jag tror att så kan man resonera också?
