visa att...

a|b   ger att a=b*k   där k är ett heltal
kvadera och du får
a^2=k^2*b^2

om k är ett heltal är k^2 också ett heltal alltså är    a^2=b^2*n    där n är ett heltal

Q.E.D

men n förekommer inte i uppgiften?

joculator skrev:

a|b   ger att a=b*k   där k är ett heltal

Nej, tvärtom. a|b säger att "a delar b", dvs. att b är jämnt delbart med a. Då är alltså b någon heltalsmultipel av a: b = k*a.

Skaft skrev:

joculator skrev:

a|b   ger att a=b*k   där k är ett heltal

Nej, tvärtom. a|b säger att "a delar b", dvs. att b är jämnt delbart med a. Då är alltså b någon heltalsmultipel av a: b = k*a.

Kan man lösa detta med hjälp av induktionsbevis?

Jag vet inte om induktionsbevis är tillämpbart, men joculators metod är åtminstone enklare och troligen den avsedda. Idén är att använda den första utsagan (a|b) för att skriva ett uttryck för b, och sen använda det uttrycket för att göra ett uttryck för b². Om det uttrycket innehåller faktorn a² (och alla andra faktorer är heltal) så innebär det att b² är delbart med a², vilket är vad a²|b² betyder.

Skaft skrev:

joculator skrev:

a|b   ger att a=b*k   där k är ett heltal

Nej, tvärtom. a|b säger att "a delar b", dvs. att b är jämnt delbart med a. Då är alltså b någon heltalsmultipel av a: b = k*a.

Såklart. 

Jag tror det enklaste sättet att få en intuition som effektivt förklarar det här är att gå via aritmetikens fundamentalsats. Ta något tal, vilket som helst, till exempel 21. Det kan skrivas som 3*7. Produkten 3*7 är det enda sättet att skriva 21 som en produkt av primtal (3 och 7 är dessa primtal för just 21). Om du tar kvadraten på 21 så blir det 3*3*7*7. Ta ett djupt andetag och tänk efter vad det innebär nu.

När du har ett ett tal (t.ex a) delar ett annat tal (t.ex b), så måste a gå att skriva som en produkt av några av primtalsfaktorerna i b. För 21 finns bara 3 och 7 som delar 21, men om vi tänker på ett "rikare" tal som t.ex 2*3*3*5 = 90 så ser man att de tal som delar 90 är 2, 3, 5, 2*3, 3*3, 2*5, 3*5, 2*3*3, 2*3*5,  3*3*5 (om jag inte glömt någon), dvs alla saker du kan plocka ihop av "beståndsdelarna" av 90 är tal som delar 90.

Titta nu på vad som händer om du tar kvadraten på 90 -> 2*2*3*3*3*3*5*5 -- varje "komponent" av 90 förekommer två gånger i dess kvadrat. Titta nu på alla tal som delar 90, så inser du att för varje siffra som fanns en gång i 90, så finns den nu två gånger i 90*90. Inte nog med att alla tal som delar 90 också delar kvadraten -- kvadraten på alla dessa delare till 90 delar också dess kvadrat.

När man väl insett det, så ser man också enkelt att det inte bara gäller kvadraten, utan vilken potens som helst.