Visa att 1/d = 1/a + 1/b
Rita en rätvinklig triangel ABC. Dra från hörnet C en bisektris till punkten D på hypotenusan AB. Dra från punkten D en normal till punkten E på kateten AC. Sätt DE=d, AC=b och BC=a. Visa att
Hur bevisar man detta? Förstår inte hur man ska tänka.
Har du ritat en skiss av den beskrivna situationen och markerat ut d,a,b, storheterna i figuren?
Det, att rita en figur, är alltid det första man måste göra i ett geometriproblem om man inte insett lösningen direkt.
Jag har gjort allt du kan tänka dig. Jag använde geogebra's graf ritare och löste ingenting. Skulle vara jätte tacksam om någon bara skulle kunna visa hur man gör så jag kan förstå hur man ska tänka.
Hur man ska tänka är att först rita en skiss och sedan använda olika generella strategier för att omvandla problemet till en form man kan lösa.
Rent praktiskt kan du exempelvis säga att problemet med att visa att är detsamma som att finna en formel för given a och b. Detta har alltså något med ekvationslösning att göra.
En annan strategi vid den här typen av problem är att använda själva formeln och se om det är något i den man känner igen och om man inte gör det så kan man manipulera formeln tills dess att man får något man känner igen.
Jag känner exempelvis igen
som det harmoniska medelvärdet av a och b, för mig har detta ett namn och en historia men du känner nog inte igen det så du måste manipulera det. Låt säga att vi skriver på gemensamt bråkstreck
Hmm, produkten ab är för mig associerad med arean av en rektangel med sidor a och b. Vår figur är en rätvinklig triangel, en halv rektangel, med sidor kateter a och b.
Därifrån kan vi få en idé om att använda areaargument för att komma fram till en formel. Kanske att man kan hitta en ekvation som relaterar triangelns area till sträckan d?
Jag personligen har gett upp... Slänger frågan här om någon potentiellt har kunskapen att förklara steg för steg.
Relationen mellan a,b,d återfinns ganska rakt från relationen mellan arean av den stora triangeln och arean av de två olikfärgade trianglarna. Detta är vad jag menar med ett areaargument.
(Detta problem var en modifikation av problemet https://www.pluggakuten.se/trad/bisektrisen-i-en-rat-vinkel/)
SeriousCephalopod skrev :Relationen mellan a,b,d återfinns ganska rakt från relationen mellan arean av den stora triangeln och arean av de två olikfärgade trianglarna. Detta är vad jag menar med ett areaargument.
Men hur får vi fram normalen? Just nu är d inte definierad som en normal, den är definerad som en höjd av en triangel. Om vi säger att d är höjden trianglen så betyder det att antagligen att vi inte kan använda regeln 1/d = 1/a + 1/b. Jag ser inte korrelationen mellan arean och normalen
Höjden är vinkelrät mot basen. En normal är en linje som är vinkelrät mot en annan linje. Alltså: Höjden är en normal mot basen.
Så du ritade alltså aldrig figuren? inte ens med geogebra? (Då förstår jag att det var svårt att komma vidare för det var som sagt första nödvändiga steget)
Jag läste om frågan och insåg att jag rita normal så att den var vinkelrät med hypotenusan och därför inte fatta någonting :) jag inser hur det blir nu om man sätter normalen vinkelrät mot en av kateterna.
Om du hade visat hur du hade ritat skulle vi kunnat se vad som hade blivit fel och kunnat hjälpa dig på ett bättre sätt.
