Visa at integralen är konvergent (Matematik/Matte 5/Integraler)

Är detta verkligen Ma5? Varifrån kommer uppgiften?

Smaragdalena skrev:
Är detta verkligen Ma5? Varifrån kommer uppgiften?

Matte 5, det är uppgift från min uppdrag

Smaragdalena skrev:
Är detta verkligen Ma5? Varifrån kommer uppgiften?

Något fel med uppgiften?

Alt 1, känner du till partialbråksuppdelning?

Alt 2: känner du till en liknande integral som du vet är konvertent

$\displaystyle \int_0 ^{\infty} \dfrac{2x-4}{x^3+1} \leq \int_0 ^{\infty} \dfrac{2x}{(x+1)(x^2-x+1)} \leq \int_0 ^{\infty} \dfrac{1}{x^2-x+1}$ Kommer du vidare nu?

Vet ej om partialbråksuppdelning ingår i gymnasiekurserna. Lika litet vet jahg om nedanst. lösning ingår:

Absolutbeloppet av integranden, är mindre än eller lika med x^-2 i intervallet 2<=x< oändl. och mindre än 2x+4 i intervallet 0<=x<2 . Dela upp integralen i dessa två intervall för att visa konvergens. (absolutkonvergens).

Eugenia skrev:
Smaragdalena skrev:
Är detta verkligen Ma5? Varifrån kommer uppgiften?

Matte 5, det är uppgift från min uppdrag

Uppgiften är inte särskilt svår, men den innehåller element man vanligtvis inte lär sig på gymnasiet. Känner du till några regler relaterade till konvergens? T.ex. instängningsregeln?

Vidare, hur har ni definierat integral och vad innebär det i er definition att integralen konvergerar?

D4NIEL skrev:
Eugenia skrev:
Smaragdalena skrev:
Är detta verkligen Ma5? Varifrån kommer uppgiften?

Matte 5, det är uppgift från min uppdrag

Uppgiften är inte särskilt svår, men den innehåller element man vanligtvis inte lär sig på gymnasiet. Känner du till några regler relaterade till konvergens? T.ex. instängningsregeln?

Vidare, hur har ni definierat integral och vad innebär det i er definition att integralen konvergerar?

Nej, det känner jag inte...

När du utför ett uppdrag ska du efterforska sådana saker på internet. Allt kommer inte finnas i din bok. Läs på om instängningsregeln (squeeze method) och partialbråksuppdelning (partial fraction decomposition).

Här kan du läsa exempelvis:

https://www.math.kth.se/math/GRU/2012.2013/SF1602/CTFYS/lectures/Diffint-F18.pdf

SaintVenant skrev:
När du utför ett uppdrag ska du efterforska sådana saker på internet. Allt kommer inte finnas i din bok. Läs på om instängningsregeln (squeeze method) och partialbråksuppdelning (partial fraction decomposition).

Här kan du läsa exempelvis:

https://www.math.kth.se/math/GRU/2012.2013/SF1602/CTFYS/lectures/Diffint-F18.pdf

Det hjäper inte särkild mycket.. men tack!

Dracaena skrev:
$\displaystyle \int_0 ^{\infty} \dfrac{2x-4}{x^3+1} \leq \int_0 ^{\infty} \dfrac{2x}{(x+1)(x^2-x+1)} \leq \int_0 ^{\infty} \dfrac{1}{x^2-x+1}$ Kommer du vidare nu?

Nej, jag är helt förvirrad om vad du gjorde..

Kan du bifoga en bild på uppgiften? Vad har ni gått igenom för några metoder för att beräkna generaliserade integraler?

Dracaena skrev:
Kan du bifoga en bild på uppgiften? Vad har ni gått igenom för några metoder för att beräkna generaliserade integraler?

det är bara det som vi hade

Eugenia skrev:
Dracaena skrev:
$\displaystyle \int_0 ^{\infty} \dfrac{2x-4}{x^3+1} \leq \int_0 ^{\infty} \dfrac{2x}{(x+1)(x^2-x+1)} \leq \int_0 ^{\infty} \dfrac{1}{x^2-x+1}$ Kommer du vidare nu?

Nej, jag är helt förvirrad om vad du gjorde..

Det är något som heter jämförelsesatsen.

Dvs, vi har hittat en integral som är större eller lika stor som integralen vi skall beräkna konvergens eller divergens. Eftersom denna integralen nu är konvergent (väldigt enkel att integrera och beräkna) så vet vi att den mindre integralen måste också vara konvergent.

Är uppgiften i från boken eller från din lärare? Om den är från din lärare, har du räknat liknande uppgifter innan? Kan du bifoga hela uppgiften från din lärare också?

Jag hoppas inte tanken är att du ska visa konvergens genom att blint räkna. Det känns meningslöst. Just eftersom att om du hade fått en divergent integral som inte ens går att hitta en elementär primitiv funktion hade du slösat otroligt mycket tid på att försöka beräkna den när det inte ens går. :)

Förutsattningarna i satsen ovan är inte uppfyllda, ty f är kontinuerlig och f(0)=~4 medför f<0 i en högeromgivn till 0.

Integralen är konvergent ( $\displaystyle -\frac{4 \pi }{3 \sqrt{3}}$ ).

Eftersom det enda ni har att gå på är att integranden ska vara integrerbar samt att integralen är konvergent om ett gränsvärde existerar antar jag att det är tänkt att ni faktiskt ska beräkna den bestämda integralen och sedan studera om gränsvärdet existerar när $t$ växer obegränsat.

Eugenia skrev:
Det hjäper inte särkild mycket.. men tack!

Det står tyvärr inte tillräckligt i din bok för att du ska kunna lösa uppgiften.

Kolla på denna video till att börja med:

https://youtu.be/WiG9s8ca4u8

Tillägg: 16 jul 2022 16:51

Jag skulle fråga din lärare om du får använda datorverktyg för att bestämma den obestämda integralen. Alltså om du får mata in den i Wolfram Alpha och sedan göra om det till ett gränsvärdesproblem. Eller om du ska använda jämförelsekriteriet.