Visa integrerbarhet för summa av funktioner och additivitet av Riemannintegralen

Hej! Jag sitter med uppgiften nedan:

Suppose $f,g:[a,b] \to \mathbb{R}$ are integrable. Prove that $f+g$ is Riemann (Darboux) integrable on $[a,b]$ and

$\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f+g \right)=\int_{a}^{b}f+\int_{a}^{b}g$

Mitt försök ser ut på följande vis:

Låt $\varepsilon \in \mathbb{R}_{> 0}$. Då $f$ och $g$ är integrerbara kan vi välja partitioner $p$ och $p'$, av $[a,b]$, sådana att:

$\displaystyle U\left(f,p\right)-L\left(f,p\right)<\frac{\varepsilon}{2}$

$\displaystyle U\left(g,p'\right)-L\left(g,p'\right)<\frac{\varepsilon}{2}$

Skapa en ny partition $P = p \cup p'$. Vi ser enkelt att $U\left(f,P\right)\le U\left(f,p\right)$ samt att $L\left(f,P\right)\ge L\left(f,p\right)$. Detta medför att:

$\displaystyle U\left(f,P\right)-L\left(f,P\right)\le U\left(f,p\right)-L\left(f,p\right)<\frac{\varepsilon}{2}\implies U\left(f,P\right)-L\left(f,P\right)<\frac{\varepsilon}{2}$

Vi kan använda samma argument för $g$ och erhåller då slutligen:

$\displaystyle U\left(f,P\right)-L\left(f,P\right)+\left(U\left(g,P\right)-L\left(g,P\right)\right) < \varepsilon$

Om man arrangerar om termerna lite grand ser man att:

$\displaystyle U\left(f,P\right)+U(g,P)-\left(L\left(f,P\right)+L\left(g,P\right)\right)<\varepsilon$

Översummorna och undersummorna kan skrivas ihop (går att visa med definitionen för Darbouxsumman), och olikheten blir då:

$\displaystyle U\left(f+g,P\right)-L\left(f+g,P\right)<\varepsilon$ $\blacksquare$

Det jag hoppas att jag lyckats visa nu är att om $f,g$ är integrerbara (vilket jag försökte utnyttja med olikheterna i början), så kommer det för alla $\varepsilon >0$, finnas en partition $P$ av $[a,b]$, sådan att:

$\displaystyle U\left(f+g,P\right)-L\left(f+g,P\right)<\varepsilon$

vilket medför integrerbarhet för $f+g$.

Har jag gjort några icke-generella antaganden här, eller något knasigt i allmänhet?

Och vad gäller den andra delfrågan tänker jag så här:

Vi vet att $f+g$ är integrerbar. Om vi väljer att betrakta översumman ser vi då att:

$\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f+g\right)= \inf\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-x_{i-1}\right)\sup_{[x_{i-1},x_i]}\left(f+g\right)=\inf\sum_{i=1}^{n}[\left(x_i-x_{i-1}\right)\sup_{[x_{i-1},x_i]}f+\left(x_i-x_{i-1}\right)\sup_{[x_{i-1},x_i]}g]$

$\displaystyle =\inf\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-x_{i-1}\right)\sup_{[x_{i-1},x_i]}f+\inf\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-x_{i-1}\right)\sup_{[x_{i-1},x_i]}g=U\left(f\right)+U\left(g\right)=\int_{a}^{b}f+\int_{a}^{b}g$